歐拉方程 (剛體運動)

在物理學上，歐拉方程統治剛體的轉動。我們可以選取相對於慣量的主軸坐標為體坐標軸系。這使得計算得以簡化，因為我們現在可以將角動量的變化分成分別描述 $\mathbf {L}$ 的大小變化和方向變化的部分，並進一步將慣量對角化。

這些方程是:

\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }+\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N}

其中 $\mathbf {L}$ 是角動量在體坐標系中的表達， $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }$ 是物體角動量相對於體坐標系的變化， $\mathbf {\omega }$ 是在體坐標系中的角速度，而 $\mathbf {N}$ 是外力矩。

證明

\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }+\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} =\left(I{\frac {d\mathbf {\omega } }{dt}}\right)+\mathbf {(} \omega )\times I\mathbf {\omega } =I{\frac {d\mathbf {\omega } }{dt}}+{\frac {dI}{dt}}\mathbf {\omega } ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N}

分量形式

採用主軸坐標，I對角化，則 $\mathbf {L}$ 分量形式為 $I_{1}\omega _{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}\omega _{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}\omega _{3}\mathbf {e} _{3}$ 。從而，歐拉方程變為如下分量形式

{\begin{matrix}N_{1}&=&I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}\\N_{2}&=&I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}\\N_{3}&=&I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}\\\end{matrix}}

應用

方程左邊為0時，還是有非平凡解：無力矩進動。

該方程也可以使用在坐標軸不在物體上的場合， $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }$ 不再連接到物體本身。 $\mathbf {\omega }$ 是圍繞固定坐標軸的轉動而不是物體本身的轉動。但是，所選的軸必須還是主軸，因為它是對角化的必要條件。這個形式的歐拉方程對於有旋轉對稱性的物體很有用，因為有些主軸的選取是自由的。

參閱