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一致估计量

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{, , , ...}是参数的一组估计量,待估参数真值为4。随着样本量的增加该估计量序列越发集中于的真值;而同时这些估计量是有偏的。该估计量序列的极限分布将退化为一个随机变量以概率1收敛于

统计学中,一致估计量(Consistent Estimater)、渐进一致估计量,亦称相合估计量相容估计量。其所表征的一致性或(相合性)同渐进正态性是大样本估计中两大最重要的性质。随着样本量无限增加,估计误差在一定意义下可以任意地小。也即估计量的分布越来越集中在所估计的参数的真实值附近,使得估计量依概率收敛

这里定义的一致性称弱相合性。如果将概率收敛的方式改为以概率1收敛此时称强相合性

定义

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为定义在参数空间上的一维数值函数,用去估计它。这里为样本,为样本量。如果当时,估计量在某个意义之下收敛于被估计的,则称的一个意义之下的相合估计。在数理统计中最常考虑的有以下三种情况:

  • 表示依概率收敛,即是,这时所定义的相合性称弱相合
  • 表示以概率1收敛,即是,这时所定义的相合性称强相合
  • 表示以阶矩收敛(),即是,这时所定义的相合性称阶矩相合,简称矩相合

根据定义显然可知强相合与矩相合可推得弱相合,反之不成立。强相合与矩相合之间没有从属关系。

如果是多维的,在某意义下的相合估计,则称估计量在该意义下相合。

因此一般性讨论中可以只考虑为1维的情况。

性质

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泛函不变性

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设参数空间为定义在开集上的实值连续函数。若的(强/弱)相合估计,则的(强/弱)相合估计。

该定理不适用于矩相合。

由该定理和Kolmogorov强大数定律可推知矩估计为强相合估计。

存在性的充分条件

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设参数空间,独立同分布样本其总体分布函数是k维分布函数。若

的强相合估计存在。

存在性的一个必要条件

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设参数空间,独立同分布样本其总体分布函数是k维分布函数。若的相合估计存在,且时,

存在性的充要条件

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至今没有得到回答。

参考文献

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