一致估计量
外观
在统计学中,一致估计量(Consistent Estimater)、渐进一致估计量,亦称相合估计量、相容估计量。其所表征的一致性或(相合性)同渐进正态性是大样本估计中两大最重要的性质。随着样本量无限增加,估计误差在一定意义下可以任意地小。也即估计量的分布越来越集中在所估计的参数的真实值附近,使得估计量依概率收敛于。
这里定义的一致性称弱相合性。如果将概率收敛的方式改为以概率1收敛此时称强相合性。
定义
[编辑]设为定义在参数空间上的一维数值函数,用去估计它。这里为样本,为样本量。如果当时,估计量在某个意义之下收敛于被估计的,则称是的一个意义之下的相合估计。在数理统计中最常考虑的有以下三种情况:
- 表示依概率收敛,即是,这时所定义的相合性称弱相合。
- 表示以概率1收敛,即是,这时所定义的相合性称强相合。
- 表示以阶矩收敛(),即是,这时所定义的相合性称阶矩相合,简称矩相合。
根据定义显然可知强相合与矩相合可推得弱相合,反之不成立。强相合与矩相合之间没有从属关系。
如果是多维的,,为在某意义下的相合估计,则称估计量在该意义下相合。
因此一般性讨论中可以只考虑为1维的情况。
性质
[编辑]泛函不变性
[编辑]设参数空间,为定义在开集上的实值连续函数。若是的(强/弱)相合估计,则是的(强/弱)相合估计。
该定理不适用于矩相合。
由该定理和Kolmogorov强大数定律可推知矩估计为强相合估计。
存在性的充分条件
[编辑]设参数空间,独立同分布样本其总体分布函数是k维分布函数。若 有
则的强相合估计存在。
存在性的一个必要条件
[编辑]设参数空间,独立同分布样本其总体分布函数是k维分布函数。若的相合估计存在,且时,。
存在性的充要条件
[编辑]至今没有得到回答。
参考文献
[编辑]- 盛, 骤; 谢, 式千; 潘, 承毅. 概率论与数理统计(第四版). 高等教育出版社. 2008. ISBN 978-7-04-023896-9.
- Lehmann, E. L.; Casella, G. Theory of Point Estimation 2nd. Springer. 1998. ISBN 0-387-98502-6.
- 陈, 希孺. 高等数理统计学. 中国科学技术大学出版社. 2009. ISBN 978-7-312-02281-4.
- Nikulin, M. S., Consistent estimator, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4