拟凸函数

拟凸函数（Quasiconvex function）是一类定义在实向量空间的区间或凸子集上的实值函数，且满足对任意实数 $a$ ， $(-\infty ,a)$ 的原像都是凸集。反之如果原像都是凹集，则称为拟凹函数。

凸函数一定是拟凸函数，但反之则不然，因此拟凸函数是一个更广泛的概念。凹函数的情况也类似。

定义与性质

设函数 $f:S\to \mathbb {R}$ 定义在实向量空间的凸子集 $S$ 上。我们称 $f$ 是拟凸的，如果对任意的 $x,y\in S$ 和 $\lambda \in [0,1]$ 都有

f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}

。

另一种等价的定义则是任何的 $S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}$ 都是凸集。

如果有 $f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}$ ，则称 $f$ 是严格拟凸的。

类似地，可以定义拟凹函数和严格拟凹函数。我们称 $f$ 是拟凹的，如果对任意的 $x,y\in S$ 和 $\lambda \in [0,1]$ 都有

f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}

。

如果有 $f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}$ ，则称 $f$ 是严格拟凹的。

如果一个函数既是拟凸的又是拟凹的，则称其为拟线性的。