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理想的根

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數學中的環論領域,一個理想是一個較大的理想,它約略是該理想的某種閉包。根理想是等於其自身的根的理想。

理想的根又可分為雅各布森根冪零根,前者較後者為大。

交換環的冪零根

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交換環 為其理想。該理想的冪零根 (或 )定義為

二項式定理可知 也是一個理想,並包含 。當取 時,相應的根即是冪零元素的集合,也稱作環的冪零根,有時記為 。記 為商同態,則

利用局部化技巧,也可證明

為具體起見,考慮較簡單的例子 。每個非零理想都可寫成 ,此處 取遍所有素數 則是非負整數。易證

雅各布森根

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為環(未必交換),其雅各布森根 定義為所有單右 -模的零化子之交。對於雙邊理想 ,設 為商同態,定義

雅各布森根還有諸種等價的定義。當 交換時,有下述簡單的性質:

換言之,此即所有包含 極大理想之交。由此立見

文獻

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  • David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.