整数分解

數學中，整數分解（質因數分解）問題是指：給出一個正整數，將其寫成幾個因數的乘積。例如，給出45這個數，它可以分解成3² ×5。根據算術基本定理，這樣的分解結果應該是獨一無二的。這個問題在代數學、密碼學、計算複雜性理論和量子計算機等領域中有重要意義。

因子分解

完整的因子列表可以根據因數分解推導出，將冪從零不斷增加直到等於這個數。例如，因為45= 3²×5¹，45可以被3⁰ ×5⁰，3⁰×5¹，3¹×5⁰，3¹×5¹，3²×5⁰，和3²×5¹，或者 1，5，3，9，15，和 45整除。相對應的，因數分解只包括因數因子。參見因數分解算法。

實際應用

給出兩個大因數，很容易就能將它們兩個相乘。但是，給出它們的乘積，找出它們的因子就顯得不是那麼容易了。這就是許多現代密碼系統的關鍵所在。如果能夠找到解決整數分解問題的快速方法，幾個重要的密碼系統將會被攻破，包括RSA公鑰算法和Blum Blum Shub隨機數發生器。

儘管快速分解是攻破這些系統的方法之一，仍然會有其它的不涉及到分解的其它方法。所以情形完全可能變成這樣：整數分解問題仍然是非常困難，這些密碼系統卻是能夠很快攻破。有的密碼系統則能提供更強的保證：如果這些密碼系統被快速破解（即能夠以多項式時間複雜度破解），則可以利用破解這些系統的算法來快速地（以多項式時間複雜度）分解整數。換句話說，破解這樣的密碼系統不會比整數分解更容易。這樣的密碼系統包括 Rabin密碼系統（RSA的一個變體），以及 Blum Blum Shub 隨機數發生器。

當今的新進展

2005年，作為公共研究一部分的有663個二進制數位之長的RSA-200已經被一種一般用途的方法所分解。

如果一個大的，有n個二進制數位長度的數是兩個差不多大小相等的因數的乘積，現在還沒有很好的算法來以多項式時間複雜度分解它，目前最好的超級電腦也只能保證不超過384個二進制數位的數能夠分解，但這並不表示更大的數就不能分解，例如最近才被分解的梅森數2¹⁰⁶¹-1（共1061個二進制數位），不過，仍有很多相對較小（但仍超過384個二進制數位）的數無法分解，例如10⁴⁹⁵-1的一個共有545個二進制數位的因子（見循環數的分解）。

這就意味著沒有已知算法可以在O（n^k）（k為常數）的時間內分解它。但是現在的算法也是比Θ(eⁿ)快的。換句話說，現在我們已知最好的算法比指數數量級時間要快，比多項式數量級時間要慢。已知最好的漸近線運行時間是普通數域篩選法(GNFS)。時間是：

$\Theta \left(\exp \left(\left({\frac {64}{9}}n\right)^{\frac {1}{3}}(\log n)^{\frac {2}{3}}\right)\right)$

對於平常的計算機，GNFS是我們已知最好的對付n個二進制數位大因數的方法。不過，對於量子計算機， 彼得·秀尔在1994年發現了一種可以用多項式時間來解決這個問題的算法。如果大的量子計算機建立起來，這將對密碼學有很重要的意義。這個算法在時間上只需要O(n³)，空間只要O(n)就可以了。 構造出這樣一個算法只需要2n量子位。2001年，第一個7量子位的量子計算機第一個運行這個算法，它分解的數是15。

難度與複雜度

現在還不確切知道整數分解屬於哪個複雜度類。

我們知道這個問題的判定問題形式（「請問N是否有一個比M小的因數?」）是在NP與反NP之中。因為不管是答案為是或不是，我們都可以用一個質因數以及該質因數的質數證明來驗證這個答案。由秀爾演算法可知，這個問題在BQP中。大部份的人則懷疑這個問題不在P、NP完全、以及反NP完全這三個複雜性類別中。如果這個問題可以被證明為NP完全或反NP完全，則我們便可推得NP=反NP。這將會是個很震憾的結果，也因此大多數人猜想整數分解這個問題不在上述的複雜性類別中。也有許多人嘗試去找出多項式時間的演算法來解決這個問題，但是都尚未成功，因此這個問題也被多數人懷疑不在P中。

有趣的是，判定一個整數是否是質數則比分解該整數簡單許多。AKS算法証明前者可以在多項式時間中解決。 測試一個數是否為質數是RSA演算法中非常重要的一環，因為它在一開始的时候需要找很大的質數。 ¼°°°°⒋¾

例如梅森合数分解一些进展

　　1，$p=4r+3$，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|($2^{p}-1$)。

“|”表示整除，3|15,表示15被3整除。

即（2p+1）|（$2^{p}-1$）；

例如： 23|($2^{11}-1$)；11=4×2+3，23=8×2+7；

　　47|($2^{23}-1$)；23=4×5+3,47=8×5+7；

  167|($2^{83}-1$); 83=4×20+3,167=8×20+7；

,,,。

　　2，$p=2^{n}3^{2}+1$，则（6p+1）|($2^{p}-1$)。

例如： 223|($2^{37}-1$)，$37=2^{2}3^{2}+1$，223=6×37+1；

      439|($2^{73}-1$)，$73=2^{3}3^{2}+1$，439=6×73+1；

　　 3463|($2^{577}-1$) ，$577=2^{6}3^{2}+1$，3463=6×577+1.

        ，，，。

　　3，$p=2^{n}3^{m}5^{s}-1$,则（8p+1）|（$2^{p}-1$）；

例如; 233|($2^{29}-1$)；，$29=2^{1}3^{1}5^{1}-1$，233=8×29+1

    1433|($2^{179}-1$)； ，$179=2^{2}3^{2}5^{1}-1$，1433=8×179+1；

　　1913|（$2^{239}-1$）；，$239=2^{4}3^{1}5^{1}-1$，1913=8×239+1.

     ，，，。

　　还有一些梅森数分解取得进展，不再一一叙述。

整數分解算法

特殊用途算法

一個特別的因子分解算法的運行時間依賴它本身的未知因子：大小，類型等等。在不同的算法之間運行時間也是不同的。

• 試除法
• Lenstra橢圓曲線分解法
• 費馬分解方法
• 特殊數域篩選法

一般用途算法

一般用途算法的運行時間僅僅依賴要分解的整數的長度。這種算法可以用來分解RSA數。大部分一般用途算法基於平方同余方法。

• Dixon's algorithm
• 連分數分解法（CFRAC）
• 二次篩選法
• 普通數域篩選法

其他算法

• 秀尔算法

參見

質因數表