富比尼定理

富比尼定理（英語：Fubini's theorem）是数学分析中有关重积分的一个定理，以数学家圭多·富比尼命名。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算双重积分的条件。在这些条件下，不仅能够用逐次积分计算双重积分，而且交换逐次积分的顺序时，积分结果不变。

叙述

若

$\int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty$，

其中积分是关于空间$A\times B$的积测度，且A和B都是σ-有限测度空间，那么

$\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)$，

前二者是在两个测度空间上的逐次积分, 但积分次序不同; 第三个是在乘积空间上关于乘积测度的积分。

特别地, 如果$f(x,y)=h(x)g(y)$，则

$\int _{A}h(x)\,dx\int _{B}g(y)\,dy=\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y).$

如果条件中绝对值积分值不是有限，那么上述两个逐次积分的值可能不同。

应用

富比尼定理一个应用是计算高斯积分。高斯积分是很多概率论结果的基础：

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$。