积测度

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数学中,给出可测空间和其上的测度,可以获得积可测空间和其上的积测度。概念上近似于笛卡儿积和两个拓扑空间积拓扑

(X_1, \Sigma_1)(X_2, \Sigma_2)是两个测度空间,就是说\Sigma_1\Sigma_2分别是在X_1X_2上的σ代数,又设\mu_1\mu_2是其上的测度。以\Sigma_1 \times \Sigma_2记形如B_1 \times B_2子集产生的笛卡儿积X_1 \times X_2上的σ代数,其中B_1 \in \Sigma_1B_2 \in \Sigma_2

积测度\mu_1 \times \mu_2定义为在可测空间(X_1 \times X_2, \Sigma_1 \times \Sigma_2)上唯一的测度,适合

 (\mu_1 \times \mu_2)(B_1 \times B_2) = \mu_1(B_1) \mu_2(B_2)

对所有

 B_1 \in \Sigma_1,\ B_2 \in \Sigma_2

事实上对所有可测集E

(\mu_1 \times \mu_2)(E) = \int_{X_2} \mu_1(E_y)\,\mu_2(dy) = \int_{X_1} \mu_2(E_{x})\,\mu_1(dx)

其中E_x=\{y\in X_2 | (x,y) \in E\}E_y=\{x\in X_1 | (x,y) \in E\},两个都是可测集。

这测度的存在性和唯一性是得自哈恩-柯尔莫哥洛夫定理.

欧几里得空间Rn上的博雷尔测度可得自n实数轴R上的博雷尔测度的积。


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