默比乌斯反演公式

「莫比乌斯反演」重定向至此。關於几何上的变换，請見「莫比乌斯变换」。

定義

假設對於數論函數 $f(n)$ 和 $F(n)$，有以下關係式：

$F(n)=\sum _{d|n}f(d)$

則將其默比乌斯反轉公式定義為：

$f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F\left({\frac {n}{d}}\right)$

这里 $\mu$ 为默比乌斯函数，定义为：

$\mu (n)={\begin{cases}1\\(-1)^{k}\\0\\\end{cases}}$	若$n=1\,$
	若$n\,$无平方数因数，且$n=p_{1}p_{2}......p_{k}\,$
	若$n\,$有大於$1\,$的平方數因數

一般形式

設$F(x)$及$G(x)$為定義在$[1,\infty )$上的複值函數並且

$G(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}F\left({\frac {x}{n}}\right)$

則

$F(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}\mu (n)G\left({\frac {x}{n}}\right)$

证明

我们有 $f(n)=\sum _{d\mid n}\left[{\frac {n}{d}}=1\right]f(d)$，其中$[n=1]$在$n=1$时为 1，其余点为 0。

而根据莫比乌斯函数的性质，$[n=1]=\sum _{d\mid n}\mu (d)$，代入得到$f(n)=\sum _{d\mid n}\sum _{m\mid {\frac {n}{d}}}\mu (m)f(d)$。

由于$\sum _{d\mid n}\sum _{m\mid {\frac {n}{d}}}$的限制条件其实就是$md\mid n$，故等式可以写成：$f(n)=\sum _{m\mid n}\mu (m)\sum _{d\mid {\frac {n}{m}}}f(d)=\sum _{m\mid n}\mu (m)F({\frac {n}{m}})$。

參見

• 默比乌斯函數