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{{distinguish2|金融数学中的[[費雪方程式]]}}
{{see|费希尔-柯尔莫哥洛夫方程}}
在[[数学]]中，''' 费希尔方程'''（Fisher equation，得名于[[生物学家]][[罗纳德·艾尔默·费希尔]]），又称柯尔莫哥洛夫-彼得罗夫斯基-皮斯库诺夫方程（Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov equation，得名于[[安德雷·柯尔莫哥洛夫]]、{{le|伊万·彼得罗夫斯基|Ivan Petrovsky}}和N. Piskunov），或'''KPP方程'''，'''费希尔-KPP方程'''，是一个常见于[[热传导]]、[[燃烧]]理论、[[生物学]]、[[生态学]]等领域的[[非线性偏微分方程]]<ref>Andrei D. Polyanin,Valentin F. Zaitsev, HANDBOOK OF NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS,（《非线性偏微分方程手册》） SECOND EDITION p176 CRC PRESS</ref>:
[[File:FKPPwiki.jpg|thumb|费希尔-KPP方程的数值模拟结果。]]
[[File:FKPPwiki.jpg|thumb|费希尔-KPP方程的数值模拟结果。]]
在[[数学]]中，''' 费希尔方程'''（Fisher equation），是由[[生物学家]][[罗纳德·艾尔默·费希尔]]于1936年为了研究人群中某个[[基因]]的传递，以及[[邏輯函數|逻辑型]]生长-[[扩散]]现象而引入的一个[[非线性偏微分方程]]。费希尔方程通常写为以下的形式<ref name="maple">{{cite book|last1=Lizárraga-Celaya|first1=Inna K. Shingareva, Carlos|title=Solving nonlinear partial differential equations with Maple and Mathematica|date=2011|publisher=Springer|location=New York|isbn=3709105161|url=https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-3-7091-0517-7.pdf|accessdate=2018-02-09}}</ref>:
⚫ :<math> \frac{\partial u}{\partial t} -
D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =
r u(1-u)
.\, </math>
⚫ :<math> \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =
a u(1-u)</math>
<ref name="handbook">{{cite book|last1=Zaitsev|first1=Andrei D. Polyanin, Valentin F.|title=Handbook of nonlinear partial differential equations|date=2012|publisher=CRC Press|location=Boca Raton, FL|isbn=1420087231|edition=2nd ed.|url=https://komunitasfisikaunimed.files.wordpress.com/2010/02/all-of-equation.pdf|accessdate=2018-02-09}}</ref><ref name="eqworld">{{cite web|author1=Andrei D. Polyanin|title=Parabolic Equations - EqWorld|url=http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde-toc1.htm|website=eqworld.ipmnet.ru|accessdate=2018-02-09|language=en}}</ref>
费希尔方程是[[费希尔-柯尔莫哥洛夫方程]]的一种特殊情况。<ref name="ExactSolution">{{cite journal|last1=Ma|first1=W.X.|last2=Fuchssteiner|first2=B.|title=Explicit and exact solutions to a Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation|journal=International Journal of Non-Linear Mechanics|date=1996-05|volume=31|issue=3|pages=329–338|doi=10.1016/0020-7462(95)00064-X|accessdate=2018-02-09}}</ref>
==解析解==
==解析解==
2018年2月9日 (五) 19:43的版本
费希尔-KPP方程的数值模拟结果。 在数学 中， 费希尔方程 （Fisher equation），是由生物学家 罗纳德·艾尔默·费希尔 于1936年为了研究人群中某个基因 的传递，以及逻辑型 生长-扩散 现象而引入的一个非线性偏微分方程 。费希尔方程通常写为以下的形式[1]
∂
u
∂
t
−
∂
2
u
∂
x
2
=
a
u
(
1
−
u
)
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=au(1-u)}
[2] [3] 费希尔方程是费希尔-柯尔莫哥洛夫方程 的一种特殊情况。[4]
解析解
u
(
x
,
t
)
=
1
/
4
−
(
1
/
2
∗
I
)
∗
c
o
t
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
−
6
∗
α
)
∗
x
−
(
5
/
12
∗
I
)
∗
α
∗
t
)
−
(
1
/
4
)
∗
c
o
t
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
−
6
∗
α
)
∗
x
−
(
5
/
12
∗
I
)
∗
α
∗
t
)
2
{\displaystyle u(x,t)=1/4-(1/2*I)*cot(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}-6*\alpha )*x-(5/12*I)*\alpha *t)-(1/4)*cot(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}-6*\alpha )*x-(5/12*I)*\alpha *t)^{2}}
u
(
x
,
t
)
=
1
/
4
−
(
1
/
2
∗
I
)
∗
t
a
n
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
−
6
∗
α
)
∗
x
+
(
5
/
12
∗
I
)
∗
α
∗
t
)
−
(
1
/
4
)
∗
t
a
n
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
−
6
∗
α
)
∗
x
+
(
5
/
12
∗
I
)
∗
α
∗
t
)
2
{\displaystyle u(x,t)=1/4-(1/2*I)*tan(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}-6*\alpha )*x+(5/12*I)*\alpha *t)-(1/4)*tan(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}-6*\alpha )*x+(5/12*I)*\alpha *t)^{2}}
u
(
x
,
t
)
=
1
/
4
−
(
1
/
2
)
∗
c
o
t
h
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
6
)
∗
(
α
)
∗
x
−
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
+
(
1
/
4
)
∗
c
o
t
h
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
6
)
∗
(
α
)
∗
x
−
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
2
{\displaystyle u(x,t)=1/4-(1/2)*coth(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}6)*{\sqrt {(}}\alpha )*x-(5/12)*\alpha *t)+(1/4)*coth(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}6)*{\sqrt {(}}\alpha )*x-(5/12)*\alpha *t)^{2}}
u
(
x
,
t
)
=
1
/
4
+
(
1
/
2
)
∗
c
o
t
h
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
6
)
∗
(
α
)
∗
x
+
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
+
(
1
/
4
)
∗
c
o
t
h
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
6
)
∗
(
α
)
∗
x
+
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
2
{\displaystyle u(x,t)=1/4+(1/2)*coth(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}6)*{\sqrt {(}}\alpha )*x+(5/12)*\alpha *t)+(1/4)*coth(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}6)*{\sqrt {(}}\alpha )*x+(5/12)*\alpha *t)^{2}}
u
(
x
,
t
)
=
1
/
4
−
(
1
/
2
)
∗
t
a
n
h
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
6
)
∗
(
α
)
∗
x
−
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
+
(
1
/
4
)
∗
t
a
n
h
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
6
)
∗
(
α
)
∗
x
−
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
2
{\displaystyle u(x,t)=1/4-(1/2)*tanh(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}6)*{\sqrt {(}}\alpha )*x-(5/12)*\alpha *t)+(1/4)*tanh(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}6)*{\sqrt {(}}\alpha )*x-(5/12)*\alpha *t)^{2}}
u
(
x
,
t
)
=
1
/
4
+
(
1
/
2
)
∗
t
a
n
h
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
6
)
∗
(
α
)
∗
x
+
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
+
(
1
/
4
)
∗
t
a
n
h
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
6
)
∗
(
α
)
∗
x
+
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
2
{\displaystyle u(x,t)=1/4+(1/2)*tanh(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}6)*{\sqrt {(}}\alpha )*x+(5/12)*\alpha *t)+(1/4)*tanh(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}6)*{\sqrt {(}}\alpha )*x+(5/12)*\alpha *t)^{2}}
u
(
x
,
t
)
=
1
/
4
−
(
1
/
2
)
∗
t
a
n
h
(
C
1
+
(
1
/
12
)
∗
(
6
)
∗
(
α
)
∗
x
−
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
+
(
1
/
4
)
∗
t
a
n
h
(
C
1
+
(
1
/
12
)
∗
(
6
)
∗
(
α
)
∗
x
−
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
2
{\displaystyle u(x,t)=1/4-(1/2)*tanh(_{C}1+(1/12)*{\sqrt {(}}6)*{\sqrt {(}}\alpha )*x-(5/12)*\alpha *t)+(1/4)*tanh(_{C}1+(1/12)*{\sqrt {(}}6)*{\sqrt {(}}\alpha )*x-(5/12)*\alpha *t)^{2}}
u
(
x
,
t
)
=
3
/
4
−
(
1
/
2
∗
I
)
∗
t
a
n
(
C
1
+
(
1
/
12
)
∗
(
6
)
∗
(
α
)
∗
x
+
(
5
/
12
∗
I
)
∗
α
∗
t
)
+
(
1
/
4
)
∗
t
a
n
(
C
1
+
(
1
/
12
)
∗
(
6
)
∗
(
α
)
∗
x
+
(
5
/
12
∗
I
)
∗
α
∗
t
)
2
{\displaystyle u(x,t)=3/4-(1/2*I)*tan(_{C}1+(1/12)*{\sqrt {(}}6)*{\sqrt {(}}\alpha )*x+(5/12*I)*\alpha *t)+(1/4)*tan(_{C}1+(1/12)*{\sqrt {(}}6)*{\sqrt {(}}\alpha )*x+(5/12*I)*\alpha *t)^{2}}
u
(
x
,
t
)
=
3
/
4
+
(
1
/
2
∗
I
)
∗
t
a
n
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
6
)
∗
(
α
)
∗
x
−
(
5
/
12
∗
I
)
∗
α
∗
t
)
+
(
1
/
4
)
∗
t
a
n
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
6
)
∗
(
α
)
∗
x
−
(
5
/
12
∗
I
)
∗
α
∗
t
)
2
{\displaystyle u(x,t)=3/4+(1/2*I)*tan(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}6)*{\sqrt {(}}\alpha )*x-(5/12*I)*\alpha *t)+(1/4)*tan(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}6)*{\sqrt {(}}\alpha )*x-(5/12*I)*\alpha *t)^{2}}
u
(
x
,
t
)
=
3
/
4
−
(
1
/
2
)
∗
c
o
t
h
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
−
6
∗
α
)
∗
x
−
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
−
(
1
/
4
)
∗
c
o
t
h
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
−
6
∗
α
)
∗
x
−
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
2
{\displaystyle u(x,t)=3/4-(1/2)*coth(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}-6*\alpha )*x-(5/12)*\alpha *t)-(1/4)*coth(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}-6*\alpha )*x-(5/12)*\alpha *t)^{2}}
u
(
x
,
t
)
=
3
/
4
+
(
1
/
2
)
∗
t
a
n
h
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
−
6
∗
α
)
∗
x
+
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
−
(
1
/
4
)
∗
t
a
n
h
(
C
1
−
(
1
/
12
)
∗
(
−
6
∗
α
)
∗
x
+
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
2
{\displaystyle u(x,t)=3/4+(1/2)*tanh(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}-6*\alpha )*x+(5/12)*\alpha *t)-(1/4)*tanh(_{C}1-(1/12)*{\sqrt {(}}-6*\alpha )*x+(5/12)*\alpha *t)^{2}}
u
(
x
,
t
)
=
3
/
4
+
(
1
/
2
)
∗
t
a
n
h
(
C
1
+
(
1
/
12
)
∗
(
−
6
∗
α
)
∗
x
+
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
−
(
1
/
4
)
∗
t
a
n
h
(
C
1
+
(
1
/
12
)
∗
(
−
6
∗
α
)
∗
x
+
(
5
/
12
)
∗
α
∗
t
)
2
{\displaystyle u(x,t)=3/4+(1/2)*tanh(_{C}1+(1/12)*{\sqrt {(}}-6*\alpha )*x+(5/12)*\alpha *t)-(1/4)*tanh(_{C}1+(1/12)*{\sqrt {(}}-6*\alpha )*x+(5/12)*\alpha *t)^{2}}
行波解 KPP方程的解。 利用行波法可得费希尔方程的解：[5]
u
(
x
,
t
)
=
[
β
+
e
x
p
(
λ
∗
t
+
μ
∗
x
D
]
−
2
1
−
m
{\displaystyle u(x,t)=[\beta +exp(\lambda *t+{\frac {\mu *x}{\sqrt {D}}}]^{\frac {-2}{1-m}}}
其中
λ
=
a
∗
(
1
−
m
)
∗
(
m
+
3
)
2
∗
(
m
+
1
)
{\displaystyle \lambda ={\frac {a*(1-m)*(m+3)}{2*(m+1)}}}
μ
=
a
∗
(
1
−
m
)
2
2
∗
(
m
+
1
)
{\displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {a*(1-m)^{2}}{2*(m+1)}}}}
β
=
−
b
a
{\displaystyle \beta ={\sqrt {\frac {-b}{a}}}}
行波图
费希尔方程行波图 费希尔方程行波图 费希尔方程行波图 费希尔方程行波图
费希尔方程行波图 费希尔方程行波图 费希尔方程行波图 费希尔方程行波图
费希尔方程行波图 费希尔方程行波图 费希尔方程行波图 费希尔方程行波图
参考文献
^ Lizárraga-Celaya, Inna K. Shingareva, Carlos. Solving nonlinear partial differential equations with Maple and Mathematica (PDF) . New York: Springer. 2011 [2018-02-09 ] . ISBN 3709105161 ^ Zaitsev, Andrei D. Polyanin, Valentin F. Handbook of nonlinear partial differential equations (PDF) 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press. 2012 [2018-02-09 ] . ISBN 1420087231 ^ Andrei D. Polyanin. Parabolic Equations - EqWorld . eqworld.ipmnet.ru. [2018-02-09 ] （英语） . ^ Ma, W.X.; Fuchssteiner, B. Explicit and exact solutions to a Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation. International Journal of Non-Linear Mechanics. 1996-05, 31 (3): 329–338. doi:10.1016/0020-7462(95)00064-X ^ Graham W. Griffiths William E.Shiesser Traveling Wave Analysis of Partial Differential p173 Equations Academy Press
延伸阅读 谷超豪 《孤立子 理论中的达布变换 及其几何应用》 上海科学技术出版社
阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》 科学出版社 2007年
李志斌编著 《非线性数学物理方程的行波解》 科学出版社
王东明著 《消去法及其应用》 科学出版社 2002
何青 王丽芬编著 《Maple 教程》 科学出版社 2010 ISBN 9787030177445
Graham W. Griffiths William E.Shiesser Traveling Wave Analysis of Partial Differential p135 Equations Academy Press
Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer.
Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759 
![{\displaystyle u(x,t)=[\beta +exp(\lambda *t+{\frac {\mu *x}{\sqrt {D}}}]^{\frac {-2}{1-m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a195e0f7519f0e2f681504c15d6982e8d8368494)
