凱利公式

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在概率論中,凱利公式英语Kelly formula),也稱凱利方程式,是一個用以使特定賭局中,擁有正期望值之重複行為長期增長率最大化的公式,由約翰·拉里·凱利於1956年在《貝爾系統技術期刊》中發表,可用以計算出每次遊戲中應投注的資金比例。除可將長期增長率最大化外,此方程式不允許在任何賭局中,有失去全部現有資金的可能,因此有不存在破產疑慮的優點。方程式假設貨幣與賭局可無窮分割,而只要資金足夠多,在實際應用上不成問題。

陳述[编辑]

凱利公式的最一般性陳述為,藉由尋找能最大化結果對數期望值的資本比例f*,即可獲得長期增長率的最大化。對於只有兩種結果(輸去所有注金,或者獲得資金乘以特定賠率的彩金)的簡單賭局而言,可由一般性陳述導出以下式子:

f^* = \frac{bp-q}{b}

其中

  • f*為現有資金應進行下次投注的比例;
  • b為投注可得的賠率(不含本金);
  • p為獲勝率;
  • q為落敗率,即1 - p;

舉例而言,若一賭博有60%的獲勝率(p = 0.6,q = 0.4),而賭客在贏得賭局時,可獲得二對一的賠率(b = 1),則賭客應在每次機會中下注現有資金的20%(f* = 0.2),以最大化資金的長期增長率。

凱利公式最初為AT&T貝爾實驗室物理學家約翰·拉里·凱利根據同僚克勞德·艾爾伍德·夏農於長途電話線雜訊上的研究所建立。凱利說明夏農的資訊理論要如何應用於一名擁有內線消息的賭徒在賭馬時的問題。賭徒希望決定最佳的賭金額,而他的內線消息不需完美(無雜訊),即可讓他擁有有用的優勢。凱利的公式隨後被夏農的另一名同僚愛德華·索普應用於二十一點和股票市場中。[1]

證明[编辑]

劣勢[编辑]

凯利公式原本是为了协助规划电子比特流量设计,后来被引用于赌二十一点上去,麻烦就出在一个简单的事实,二十一点并非商品或交易。赌二十一点时,你可能会输的赌本只限于所放进去的筹码,而可能会赢的利润,也只限于赌注筹码的范围。但商品交易输赢程度是没得准的,会造成资产或输赢有很大的震幅。

較早的發現[编辑]

1738年丹尼尔·伯努利曾提出等價的觀點,可是伯努利的文章直到1954年才首次譯成英語。不過對於只投資一次的人來說,應選擇算術平均最高的投資組合。[2]

參考[编辑]

  1. ^ American Scientist online: Bettor Math, article and book review by Elwyn Berlekamp
  2. ^ William Poundstone, Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System That Beat the Casinos and Wall Street, Hill and Wang, New York, 2005

外部連結[编辑]