博苏克-乌拉姆定理

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博苏克-乌拉姆定理表明,任何一个从n维球面欧几里得n维空间连续函数,都一定把某一对对蹠点映射到同一个点。

n = 2的情形,就是说在地球的表面上,一定存在一对对蹠点,它们的温度和气压相同。这里假设了温度和气压的变化是连续的。

这个定理首先由乌拉姆猜想。1933年,Karol Borsuk证明了该定理。从博苏克-乌拉姆定理可以推出布劳威尔不动点定理

一个关于博苏克-乌拉姆定理的更强的陈述,是每一个保持对蹠点的映射

f:\mathbb{S}^n\to\mathbb{S}^n

都具有奇次数

推论[编辑]

  • Rn的任何子集都不与Sn同胚
  • 如果用n + 1个开集来覆盖球面Sn,那么其中一定有一个开集含有一对对蹠点(与博苏克-乌拉姆定理等价)。
  • 火腿三明治定理(对于任何Rn内的紧集A_1,\ldots, A_n,我们总可以找到一个超平面,把每一个紧集都分成两个具有相同测度的子集)。

参见[编辑]

参考文献[编辑]