圓周摺積

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兩個函數的圓周摺積是由他們的週期延伸所來定義的。週期延伸意思是把原本的函數平移某個週期 T 的整數倍後再全部加起來,所產生的新函數。x(t) 的週期延伸可以寫成

x_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t - kT) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t + kT).

兩個函數 x(t) 與 h(t) 的圓周摺積 x(t) \otimes h(t) 可用兩種互相等價的方式來定義


\begin{align}
y(t) &= \int_{t_o}^{t_o+T} h_T(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau
\quad = \quad x_T(t) \star h(t),
\end{align}

其中 \star 表示原本的(線性)摺積


類似的,對於離散信號(數列),可以定義週期 N 的圓周摺積 x[n] \otimes h[n]


\begin{align}
x_N[n] \star h[n] &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m] \cdot x_N[n-m] \\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m] \cdot \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n -m -kN].\,
\end{align}


離散信號的圓周摺積可以經由圓周摺積定理使用快速傅立葉變換(FFT)而有效率的計算。因此,若原本的(線性)摺積能轉換成圓周摺積來計算,會遠比直接計算更快速。考慮到長度 L 和長度 M 的有限長度離散信號,做摺積之後會成為長度 L+M-1 的信號,因此只要把兩離散信號補上適當數目的零(zero-padding)成為 N 點信號,其中  N\ge L+M-1\,  ,則它們的圓周摺積就與摺積相等。即可接著用 N 點 FFT 作計算。

用以上方法計算摺積時,若兩個信號長度相差很多,則較短者須補上相當多的零,太不經濟。而且在某些情況下,例如較短的 h[n] 是一個 FIR 濾波器而較長的 x[n] 是未知長度的輸入(像語音)時,直接用以上方法要等所有的輸入都收到後才能開始算輸出信號,太不方便。這時可以把 x[n] 分割成許多適當長度的區塊(稱為 block convolution),然後一段一段的處理。經過濾波後的段落再仔細的連接起來,藉由輸入或輸出的重疊來處理區塊連接的部份。這兩種做法分別稱為重疊-儲存之摺積法重疊-相加之摺積法

相關條目[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard. Theory and application of digital signal processing. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. 1975: pp 63–67. ISBN 0-13-914101-4. .
  • Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John A. Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. 1999. ISBN 0-13-754920-2. .

外部連結[编辑]

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