定向 (幾何)

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改變定向與轉動坐標軸的效果相同。

在三維空間裏,直軸(直線)、直軸段、有向軸、有向軸段(向量)的定向是由它們與參考系的參考軸之夾角設定的。也可以用別的方法,例如方向餘弦方法。

在三維空間裏,一個平面的定向是垂直於此平面的一個向量的定向。

在三維空間裏,剛體的定向涉及整個剛體的定位。假若一個剛體內中一點已被固定,剛體仍舊能夠繞著固定點旋轉。單獨固定點的位置並不能完全地描述剛體的位置。一個剛體的位置有兩個部分:平移位置角位置。平移位置可以用設定於剛體的一個參考點來表示。這參考點時常會是剛體的質心或剛體與地面的接觸點。角位置,或定向,通常由剛體的體軸與空間坐標軸的夾角來設定;或者,定義固定於剛體的坐標軸為體坐標軸,由空間坐標軸轉動至體坐標軸所需的轉動角參數設定。在經典力學裏,有幾個工具可以用來描述三維空間的剛體轉動。有些可以延伸至四維或多維空間。

歐拉角[编辑]

歐拉是最早試圖用數學表達定向的科學家。他設想出三個有順序的參考系,按照先後順序,可以從前面的參考系繞著轉動軸轉動到後面的參考系。他發現,從任何一個參考系,經過三種特定的轉動,可以轉到三維空間內任何參考系。這三種特定轉動的角度就是歐拉角

旋轉向量[编辑]

歐拉意識到,兩個連續的轉動可以合成為一個繞著不同轉動軸的轉動。所以,前述的三個歐拉角轉動等價於一個轉動。那時,轉動所環繞的轉動軸,很不容易計算出來。一直到矩陣理論的發展,才有較容易的方法來計算轉動軸。

根據這些理論,他新創了一個向量方法來描述任何轉動;轉動的轉動軸與向量同線,向量的量值就是轉動角度,稱此向量為旋轉向量。任何定向可以用一個相對於參考系的旋轉向量來表示。

旋轉矩陣[编辑]

隨著矩陣理論的發表,歐拉旋轉定理被重新改寫。每一個轉動都可以用正交矩陣來代表,又稱為旋轉矩陣方向餘弦矩陣

歐拉向量是旋轉矩陣的特徵向量(一個旋轉矩陣必定有唯一的,實值的特徵值)。兩個旋轉矩陣的乘積等於對應的轉動的合成。因此,定向可以用從參考系的一個轉動所相應的旋轉矩陣來表示。

在n-維空間裏,一個非對稱的物體的位形空間是SO(nRn。定向可以用此物體的切向量來代表。每一個向量所指的方向決定此物體的定向。

定向四元數[编辑]

定向四元數方法是另外一種描述轉動的方法。等價於旋轉矩陣方法,定向四元數除去了旋轉矩陣裡面的重複資料。所以,定向四元數方法比較簡實與有效率。

導航角[编辑]

導航角的三個角是偏航角俯仰角,與滾動角。導航角又稱為泰特-布萊恩角或卡丹角。在航空工程學裏,這些角通常稱為歐拉角,很容易造成與數學的歐拉角之間的混淆。

剛體定向[编辑]

在三維空間裏,一個剛體的定向會因轉動而改變。當轉動時,除了包含於轉動軸的點以外,剛體內部所有的點都會改變位置。

參閱[编辑]