模糊数学

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

模糊数学,亦称弗晰数学模糊性数学。1965年以后,在模糊集合模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。在模式识别人工智能等方面有广泛的应用。

模糊集[编辑]

定义和表示[编辑]

给定一个论域 U ,那么从 U 到单位区间 [0,1] 的一个映射  \mu_{A}: U \mapsto [0,1] 称为 U 上的一个模糊集,或 U 的一个模糊子集[1] 记为 A 。 映射(函数) μA(·) 或简记为 A(·) 叫做模糊集 A隶属函数。 对于每个 xUμA(x) 叫做元素 x 对模糊集 A隶属度

模糊集的常用表示法有下述几种:

  1. 解析法,也即给出隶属函数的具体表达式。
  2. Zadeh 记法,例如 A={1\over x_1}+{0.5\over x_2}+{0.72\over x_3}+{0\over x_4}。分母是论域中的元素,分子是该元素对应的隶属度。有时候,若隶属度为0,该项可以忽略不写。
  3. 序偶法,例如 A=\{(x_1,1),(x_2,0.5),(x_3,0.72),(x_4,0)\},序偶对的前者是论域中的元素,后者是该元素对应的隶属度。
  4. 向量法,在有限论域的场合,给论域中元素规定一个表达的顺序,那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式,如 A = (1,0.5,0.72,0) 。

一些相关概念[编辑]

  • 模糊集 A承集支集记为  \text{supp}A=\{x\in U\mid A(x)\neq 0\}
  • 模糊集 A记为  \text{ker}A=\{x\in U\mid A(x)=1\}
  • 模糊集 A高度记为  \text{hgt}A=\sup\{A(x)\mid x\in U\}
  • 模糊集 A深度记为  \text{dpn}A=\inf\{A(x)\mid x\in U\}

模糊度[编辑]

一个模糊集 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度,一个直观的定义是这样的:

设映射 D : F(U) → [0,1] 满足下述5条性质:

  1. 清晰性:D(A) = 0 当且仅当 AP(U)。(经典集的模糊度恒为0。)
  2. 模糊性:D(A) = 1 当且仅当 ∀ uUA(u) = 0.5。(隶属度都为0.5的模糊集最模糊。)
  3. 单调性:∀ uU,若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5,或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5,则 D(A) ≤ D(B)。
  4. 对称性:∀ AF(U),有 D(Ac) = D(A)。(补集的模糊度相等。)
  5. 可加性:D(AB) + D(AB)=D(A) + D(B)。

则称 D 是定义在 F(U) 上的模糊度函数,而 D(A) 为模糊集 A模糊度

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的[2],一个常用的公式(分别针对有限和无限论域)就是

\begin{align}
D_p(A)&=\frac{2}{n^{1/p}}\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|A(u_i)-A_{0.5}(u_i)\right|^p\right)^{1/p}\\
D(A)&=\int_{-\infty}^{+\infty}|A(u)-A_{0.5}(u)|\mbox{d}u
\end{align}
其中 p > 0 是参数,称为 Minkowski 模糊度。特别地,当 p = 1 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标,当 p = 2 的时候称为 Euclid 模糊度。

模糊集的运算[编辑]

各种算子[编辑]

  • Zadeh 算子,max 即为并,min 即为交

\begin{align}a\vee b&=\max\{a,b\}\\
a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{align}

  • 代数算子(概率和、代数积)

 \begin{align}a\stackrel{\wedge}{+} b &=a+b-ab\\
a\cdot b &= ab\end{align}

  • 有界算子

 \begin{align}a\oplus b &=\min\{1,a+b\}\\
a\odot b &= \max\{0,a+b-1\}\end{align}

  • Einstein 算子

 \begin{align}a\stackrel{+}{\epsilon} b &= \frac{a+b}{1+ab}\\
a\stackrel{\cdot}{\epsilon} b &= \frac{ab}{1+(1-a)(1-b)}\end{align}

  • Hamacher 算子,其中ν ∈ [0,+∞) 是参数,等于1时转化为代数算子,等于2时转化为 Einstein 算子

 \begin{align}
a\stackrel{+}{\nu} b &= \frac{a+b-ab-(1-\nu)ab}{\nu+(1-\nu)(1-ab)}\\
a\stackrel{\cdot}{\nu} b &= \frac{ab}{\nu+(1-\nu)(a+b-ab)}
\end{align}

  • Yager 算子,其中 p 是参数,等于1时转化为有界算子,趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

 \begin{align}a\;Y_p\;b &= \min\{1,(a^p+b^p)^{1/p}\}\\
a\;y_p\;b &= 1-\min\{1,[(1-a)^p+(1-b)^p]^{1/p}\}\end{align}

  • λ-γ 算子,其中 λ,γ ∈ [0,1] 是参数

 \begin{align}a\;\lambda\;b &= \lambda ab+(1-\lambda)(a+b-ab)\\
a\;\gamma\;b &= (ab)^{1-\gamma}(a-ab)^\gamma\end{align}

  • Dobois-Prade 算子,其中 λ ∈ [0,1] 是参数

 
\begin{align}
a\vee_d b &= \frac{a+b-ab-\min\{(1-\lambda),a,b\}}{\max\{\lambda,1-a,1-b\}}\\
a\wedge_d b &= \frac{ab}{\max\{\lambda,a,b\}}
\end{align}

算子的性质[编辑]

参见集合代数布尔代数

主要算子的性质对比表如下(.表示不满足,-表示未验证):

算子 结合律 交换律 分配律 互补律 同一律 幂等律 支配律 吸收律 双重否定律 德·摩根律
Zedah .
代数 . . . . -
有界 . . -

线性补偿是指: 
(\forall x,y,k \in [0,1])(x+k \wedge y-k\ \Rightarrow\ U(x+k,y-k)=U(x,y))
[3]

算子的并运算 幂等律 排中律 分配律 结合律 线性补偿
Zadeh . .
代数 . . . .
有界 . . .
Hamacher r = 0 . . . .
Yager . . . .
Hamacher . . . .
Dobois-Prade . . . .

模糊集与经典集的关系[编辑]

截集与截积[编辑]

A\in \mathcal{F}(U),任取 \lambda \in [0,1],则

A_\lambda = \{ u\in U\mid A(u)\geq\lambda\}

AλAλ 截集,而 λ 称为阈值或置信水平。将上式中的 ≥ 替换为 >,记为 A,称为强截集

截集和强截集都是经典集合。此外,显然 A1A,即 kerA;如果 kerA ≠ ø,则称 A 为正规模糊集,否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积:
λ ∈ [0,1],AF(U),则 ∀ uUλA截积(或称为 λ 截集的数乘,记为 λA)定义为:

(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)=
\begin{cases}
    A(u), &\lambda \geq A(u),\\
    \lambda, &\lambda < A(u).
\end{cases}

根据定义,截积仍是 U 上的模糊集合。

分解定理与表现定理[编辑]

分解定理
AF(U),则

A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda

即任一模糊集 A 都可以表达为一族简单模糊集 {λAλ} 的并。也即,一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。

表现定理
HU 上的任何一个集合套,则

A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda H(\lambda)

U 上的一个模糊集,且 ∀ λ ∈ [0,1],有
(1) A = ∪α>λ H(α)
(2) Aλ = ∩α<λ H(α)
即任一集合套都能拼成一个模糊集。

模糊集之间的距离[编辑]

使用度量理论[编辑]

可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上,我们需要在模糊幂集 F(U) 上建立一个度量,此外,我们还可能需要将此度量标准化,也即映射到 [0,1] 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离:


\tilde{d}(x,y)=\left({1\over n}\sum\limits_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1\over p}

贴近度[编辑]

另一种是使用贴近度概念。在某种意义上,贴近度就是 1 - 距离(这里的距离是上述标准化意义上的距离)。而之所以应用这个变换,是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近,贴近的程度显然越“高”,因此它恰为距离的反数。

除了距离外,还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

  • 最大最小贴近度
\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\vee B(u_i))}
  • 算术平均最小贴近度
\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{{1\over 2}\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)+B(u_i))}
  • 几何平均最小贴近度
\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{A(u_i)\cdot B(u_i)}}
  • 指数贴近度
\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{1}{e^{\|A-B\|}}

模糊关系[编辑]

模糊关系是建立在模糊集上的关系,此外,它也有一些特别的性质和应用。

定义[编辑]

UV 是论域,U × V = {(x , y) | xU, yV } 是 UV 的笛卡尔直积,则每个模糊子集 RU × V 都称为从 UV 的一个模糊关系。若 U = V,则称 RU 中的模糊关系。如果 R(x,y) = α,则称 xy 具有关系 R 的程度为 α。特别地:

  • 若 ∀ (x,y) ∈ U × U,当 x = yR = 1,当 xyR = 0,则称 RU 上的恒等关系,记为 I
  • 若 ∀ (x,y) ∈ U × V,有 R(x,y) = 0,则称 R 为从 UV 的零关系,记为 0
  • 若 ∀ (x,y) ∈ U × V,有 R(x,y) = 1,则称 R 为从 UV 的全称关系,记为 E


模糊关系的并、交、补、包含、相等、λ 截和截积运算,实质上就是模糊集的相应运算(采用 Zadeh 算子)。但模糊关系还有一个特殊的运算转置,定义为

RT(x,y) = R(y,x)

易知转置运算满足复原律、交换律和单调性等。[4]

关系以及关系的合成的矩阵表达[编辑]

关系的合成
对于从 U x-mV y-p 的关系 R,以及从 V y-pW z-n 的关系 S,那么从 UW模糊复合关系 R · S

\displaystyle (R\circ S)(x_i,z_j)=\bigvee_{k\leq p}[R(x_i,y_k)\wedge S(y_k,z_j)]

其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大(即 Zedah 算子)。由此可知,模糊复合关系的运算,就是两个模糊关系的矩阵的乘法运算,只是要将矩阵乘法中的乘法改为 ∧,而加法改为 ∨ 即可。

例子:设 U = {1,2,3,4}, V = {a,b,c}, W = {α,β}:

UV 的模糊关系 R
(1,a)=0.7, (1,b)=0.5, (1,c)=0
(2,a)=1,   (2,b)=0,   (2,c)=0
(3,a)=0,   (3,b)=1,   (3,c)=0
(4,a)=0,   (4,b)=0.4, (4,c)=0.3
VW 的模糊关系 S
(a,α)=0,6 (a,β)=0.8
(b,α)=0   (b,β)=1
(c,α)=0   (c,β)=0.9

那么这些模糊关系可以写成如下矩阵表达(注意行列位置):

R a b c
1 0.7 0.5 0
2 1 0 0
3 0 1 0
4 0 0.4 0.3
S α β
a 0.6 0.8
b 0 1
c 0 0.9
R · S α β
1 0.6 0.7
2 0.6 0.8
3 0 1
4 0 0.4

模糊关系与分类[编辑]

模糊等价关系定义:
U 中的模糊关系 R 满足

1. 自反性 
xU, R(x , x) = 1
2. 对称性 
x, yU, R(x , y) = R(y , x)
3. 传递性 
x, y, zU, ∀ λ ∈ [0,1], 当 R(x , y) ≥ λR(y , z) ≥ λ 时,R(x , z) ≥ λ

则称 RU 中的一个模糊等价关系。易知,对于一个固定的 λ ∈ [0,1] 来说,传递性条件刻画了模糊关系 R 具有 λ 水平上的传递性。

下述定理指出了模糊等价关系与普通等价关系的关系:U 中的模糊关系 R 是模糊等价关系的充要条件是,对于每个 λ ∈ [0,1],Rλ 截关系 RλU 中的普通等价关系。

只满足自反性和对称性,不满足传递性的模糊关系称为模糊相似关系。而将等价关系与相似关系联系在一起的是下述定理:U 中的模糊关系 R 是模糊传递关系的充要条件是 R2R

分类

  1. 如果模糊关系是等价关系,取某一水平的 λ 截集,即可得到这个水平上的分类。
  2. 如果模糊关系是相似关系,计算 R*R2^k = R2^(k+1),则 R* 可被证明是等价关系。

模糊推理[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ 要注意,严格地说,模糊集或子集是映射所确定的序对集,但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定,因而我们不区分映射和映射所确定的序对集,而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。
  2. ^ 陈水利等,模糊集理论及其应用,科学出版社,2005年,第20页。
  3. ^ Etienne E. Kerre 等,模糊集理论与近似推理,武汉大学出版社,2004年,第103页。
  4. ^ 陈水利等,模糊集理论及其应用,科学出版社,2005年,第62页。