欧拉定理 (几何学)

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欧拉定理是说，三角形的外心与内心之间的距离d可表示为

其中R为外接圆半径，r为内切圆半径。

从欧拉定理可推出欧拉不等式：

[编辑] 证明

设三角形ABC的外心为O，内心为I，AI延长线交外接圆于L，则L为弧BC的中点，连LO延长交外接圆于M，过I作ID垂直于AB，D为垂足，则ID = r，易证三角形ADI与三角形MBL相似，故ID / BL = AI / ML，即ID · ML = AI · BL。所以2Rr = AI · BL。又连接BI，因

角 BIL = 角 A / 2 + 角 ABC / 2，

角 IBL = 角 ABC / 2 + 角 CBL = 角 ABC / 2 + 角 A / 2，

所以角 BIL = 角 IBL，有BL = IL，于是AI · IL = 2Rr。又将OI延长线交外接圆于P、Q两点，则PI · QI = AI · IL = 2Rr，所以(R+d)(R-d) = 2Rr，即d² = R(R − 2r).