内切圆

三角形的角平分線會相交於內切圓的圓心

在數學中，若一個二維平面上的多邊形的每條邊都能與多邊形內部的一個圓形相切，該圓就是多邊形的內切圓，這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是多邊形內部最大的圓形。内切圓的圓心被稱為該多邊形的内心。

一個多邊形至多有一個内切圓，也就是說對於一個多邊形，它的内切圓，如果存在的話，是唯一的。並非所有的多邊形都有内切圓。三角形和正多邊形一定有内切圓。擁有外接圓的四邊形被稱為圓外切四邊形。

三角形的內切圓

任何三角形$ABC$都有內切圓。這個內切圓的圓心稱為內心，一般标记为I，是三角形內角平分線的交點。在三線坐標，內心是1:1:1。

性质

內切圓的半徑為$\frac{2\triangle}{a+b+c}$，當中$\triangle$表示三角形的面積。

以內切圓和三角形的三個切點為頂點的三角形$T_A T_B T_C$是$ABC$的内接三角形之一。$ABC$的內切圓就是$T_A T_B T_C$的外接圓。而$AT_A$、$BT_B$和$CT_C$三线交于一点，它们的交點就是熱爾崗點（Gergonne point）。内切圆与九点圆相切，切点称作费尔巴哈点（见九点圆）。

若以三角形的内切圆为反演圆进行反演，则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆（半径都等于内切圆半径的一半）。

三角形的外接圆半径R、内切圆半径r 以及内外心间距OI 之间有如下关系：

$R^2 - OI^2 = 2Rr$

直角三角形兩股和等於斜邊長加上該三角形內切圓直徑

$a+b=c+2r$

由此性質再加上勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可推得：

$\triangle =r(r+c)$

四边形的内切圆

不是所有的四边形都有内切圆，拥有内切圆的四边形称为圆外切四边形。凸四边形ABCD有内切圆当且仅当两对对边之和相等：$AB+CD = AD+BC$。圆外切四边形的面积和内切圆半径的关系为： $S_{ABCD} = rs$，其中s 为半周长。

同时拥有内切圆和外接圆的四边形称为双心四边形。这样的四边形有无限多个。若一个四边形为双心四边形，那么其内切圆在两对对边的切点的连线相互垂直。而只要在一个圆上选取两条相互垂直的弦，并过相应的顶点做切线，就能得到一个双心四边形。

正多边形的内切圆

正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。边长为a 的正多边形的内切圆半径为：

$r_n = \frac{a}{2} \cot(\frac{\pi}{n})$

其内切圆的面积为：

$s_n =\pi r_n^2 = \frac{a^2}{4} \cot^2(\frac{\pi}{n})$

内切圆面积与正多边形的面积之比为：

$\varphi_n =n \cot(\frac{\pi}{n})$

參見

• 旁切圓
• 外接圓
• 九点圆