偽內切圓

幾何學中，三角形的偽內切圓^[1]是內切於三角形兩條邊和其外接圓的一個圓。與頂點 $A$ 的兩條邊相切的偽內切圓稱為「關於點 $A$ 的偽內切圓」、「 $A$ 所對的偽內切圓」或「 $A$ -偽內切圓」。

關於三角形的每個頂點都有唯一的偽內切圓。

存在性及唯一性的證明[编辑]

關於點 $A$ 的旁切圓是唯一的。

定義 $\Phi$ 為以下兩個幾何變換的複合：先以 $A$ 點為圓心， ${\sqrt {AB\cdot AC}}$ 為半徑作反演變換；再關於角 $A$ 的平分線作對稱變換。由於反演變換和對稱變換都為雙射且變換前後保留交點的性質， $\Phi$ 也有對應的性質。

$A$ 點的旁切圓經 $\Phi$ 變換後的圖像為內切於 $AB$ 、 $AC$ ，以及 $ABC$ 外接圓的一個圓，即關於點 $A$ 的偽內切圓。因此關於點 $A$ 的偽內切圓唯一確定。類似地，關於點 $B$ 及點 $C$ 的偽切圓也唯一確定。^[2]

以下公式說明了三角形內切圓半徑 $r$ 和 $A$ -偽內切圓半徑 $\rho _{A}$ 的關係：

r=\rho _{A}\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}

其中

\alpha

是角

A

的大小^[3]。

三角形內心 $I$ 為偽內切圓與三角形其中兩邊的切點 $D$ 和 $E$ 組成線段的中點^[4]。

$T_{A}D$ 和 $T_{A}E$ 與圓 $(ABC)$ 除 $T_{A}$ 的交點分別為弧 ${\overset {\frown }{AB}}$ 和 ${\overset {\frown }{AC}}$ 的中點^[4]。

$T_{A}BDI$ 和 $T_{A}CEI$ 為圓內接四邊形^[4]。

$T_{A}I$ 與圓 $(ABC)$ 除 $T_{A}$ 的交點為弧 ${\overset {\frown }{BAC}}$ 的中點^[4]。

^ 潘成华; 田开斌; 褚小光. 与曼海姆定理有关的一类几何问题. 中等数学. 2017, (4): 2–6. ISSN 1005-6416. 与三角形外接圆内切且与三角形的两边相切的圆称为伪内切圆
^ Baca, Jafet. On Mixtilinear Incircles (PDF). Mathematical Reflections. 2020, (2) [2023-01-21]. （原始内容存档 (PDF)于2022-10-23）.
^ Yui, Paul. Mixtilinear Incircles. The American Mathematical Monthly. 2018-04-23, 106 (10): 952–955 [2021-10-27]. doi:10.1080/00029890.1999.12005146. （原始内容存档于2022-10-23）.
^ ^4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 Chen, Evan. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 68–69. ISBN 978-1-61444-411-4.