窗函数

在信号处理中，窗函数是一种除在给定区间之外取值均为0的实函数。譬如：在给定区间内为常数而在区间外为0的窗函数被形象地称为矩形窗。任何函数与窗函数之积仍为窗函数，所以相乘的结果就像透过窗口“看”其他函数一样。窗函数在频谱分析、滤波器设计、波束形成、以及音频数据压缩（如在Ogg Vorbis音频格式中）等方面有广泛的应用。

频谱分析

从理论上可以得出函数 $\cos(\omega t)\,$ 的傅立叶变换除了在频率 $\pm \omega\,$ 之外处处为 0。但是许多其它的函数或者波形数据并没有这样方便的闭式变换，或者是我们只对某一时间范围内的频谱数据感兴趣，在这种情况下，就需要对有限时间范围的波形进行傅立叶变换或者其它类似的变换。通常通过波形与一个窗函数的乘积来表示。但是，包括矩形窗在内的所有窗函数都会对待测频谱产生影响。

离散时间信号

当输入波形是采样信号而非连续信号时，傅分析通常对信号应用窗函数并用离散傅立叶变换。但是 离散傅里叶变换得到的频谱只是离散时间傅里叶变换频谱的一个粗糙采样。上图是正弦信号应用矩形窗后傅立叶频谱的一部分。位于横轴0点位置的是正弦信号真实频谱，其余频谱均为谱泄漏。频率单位为“DFT bins”（DFT 量化单位）即这些整数值是DFT采样得到的频率。所以该图显示了这样一种情况，正弦信号的实际频率正好与DFT的采样频率一致，并且频谱的最大值通过采样得到。采样错过最大值时的测量误差被称为“扇形损失”（名称源于顶点的形状）。但是这种状况下最有趣的是那些与实际频谱相一致的即值为零的那些点。这种情况下，DFT创造了没有泄露的假象。尽管不如本例这样，泄露是DFT中人为引入的也是普遍误解。但是既然任何窗函数都有泄露，那些表面上的不存在泄露才是人为造成的。

总泄漏

概念的分辨率和动态范围往往是有些主观的，這取決於用戶的实际意图。但他們也往往是高度相關，與總洩漏，這是量化的。它通常表示為一個等效帶寬，B認為它作為再分配DTFT成長方形的高度等於頻譜寬度 B的最大和洩漏的，更大的帶寬。它有時被稱為噪聲等效帶寬或等效噪聲帶寬，因為它是成正比的平均功率將每個登記的DFT并當輸入信號包含隨機噪聲組件（或者只是隨機噪聲）。圖的功率譜，平均隨著時間的推移，通常顯示一個單位的噪聲底，造成這種效果。噪聲的高度層是成正比的，所以乙兩個不同的窗口功能可以產生不同的噪音樓層。

典型的窗函数

矩形窗

矩形窗; B=1.00

$w(n) = 1\,$

高斯窗

高斯窗, σ=0.4; B=1.45

$w(n)=e^{-\frac{1}{2} \left ( \frac{n-(N-1)/2}{\sigma (N-1)/2} \right)^{2}}$

$\sigma \le \;0.5\,$

Hamming窗

Hamming窗; B=1.37

$w(n)=0.53836 - 0.46164\; \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right)$

Hann窗

Hann窗; B=1.50

$w(n)= 0.5\; \left(1 - \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) \right)$

Hann窗有时也称为 "Hanning" 窗，以与 Hamming 窗的名称类似。但是这是不对的，因为这两个窗是分别根据 Julius von Hann 和 Richard Hamming 的名字命名的。
汉宁（Hanning）窗又称升余弦窗，汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，或者说是 3个 sinc（t）型函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了π/T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。 　 从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗。但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。

Bartlett窗（端点值为0）

Bartlett窗; B=1.33

$w(n)=\frac{2}{N-1}\cdot\left(\frac{N-1}{2}-\left |n-\frac{N-1}{2}\right |\right)\,$

三角形窗（端点值非0）

三角形窗; B=1.33

$w(n)=\frac{2}{N}\cdot\left(\frac{N}{2}-\left |n-\frac{N-1}{2}\right |\right)\,$

Bartlett-Hann窗

Bartlett-Hann窗; B=1.46

$w(n)=a_0 - a_1 \left |\frac{n}{N-1}-\frac{1}{2} \right| - a_2 \cos \left (\frac{2 \pi n}{N-1}\right )$

$a_0=0.62;\quad a_1=0.48;\quad a_2=0.38\,$

Blackman窗

Blackman窗; B=1.73

$w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) + a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=0.42;\quad a_1=0.5;\quad a_2=0.08\,$

Kaiser窗

File:Window function (kaiser 2).png

Kaiser窗, α =2; B=1.50

File:Window function (kaiser 3).png

Kaiser window, α =3; B=1.80

$w(n)=\frac{I_0\Bigg (\pi\alpha \sqrt{1 - (\begin{matrix} \frac{2 n}{N-1} \end{matrix}-1)^2}\Bigg )} {I_0(\pi\alpha)}$

参见Kaiser窗.

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低分辨率（高动态范围）窗

Nuttall窗（一阶导数连续）

Nuttall 窗, 一阶导数连续; B=2.02

$w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=0.355768;\quad a_1=0.487396;\quad a_2=0.144232;\quad a_3=0.012604\,$

Blackman-Harris窗

Blackman-Harris窗; B=2.01

$w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=0.35875;\quad a_1=0.48829;\quad a_2=0.14128;\quad a_3=0.01168\,$

Blackman-Nuttall窗

Blackman-Nuttall 窗; B=1.98

$w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=0.3635819; \quad a_1=0.4891775; \quad a_2=0.1365995; \quad a_3=0.0106411\,$

平顶窗

平顶窗; B=3.77

$w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{N-1} \right)+a_4 \cos \left ( \frac{8 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=1;\quad a_1=1.93;\quad a_2=1.29;\quad a_3=0.388;\quad a_4=0.032\,$

参考文献

• Oppenheim, A.V., and R.W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1999, pp 468-471.
• Albert H. Nuttall, Some Windows with Very Good Sidelobe Behavior, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol.ASSP-29, No.1, February 1981, pp 84-91.
• Frederic J. Harris, On the use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform, Proceedings of the IEEE, Vol.66, No.1, January 1978, pp 51-83.
• S.W.A. Bergen and A. Antoniou, Design of Ultraspherical Window Functions with Prescribed Spectral Characteristics, EURASIP Journal on Applied Signal Processing, vol. 2004, no. 13, pp. 2053-2065, 2004.
• S.W.A. Bergen and A. Antoniou, Design of Nonrecursive Digital Filters Using the Ultraspherical Window Function, EURASIP Journal on Applied Signal Processing, vol. 2005, no. 12, pp. 1910-1922, 2005.