离散时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换（DTFT，Discrete-time Fourier Transform）是傅里叶变换的一种。它将以离散时间$nT$（其中$n \in \mathbb{Z}$，$T$为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号）$f(nT)$变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱$F(e^{i \omega})$，值得注意的是这一频谱是周期的。

定义

记连续时间信号$f(t)$的采样为$f_{sp}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT)\delta(t-nT)$，其傅里叶变换为

$\mathfrak{F}\{f_{sp}(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f_{sp}(t) e^{-i\omega t} \ dt = \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT)\delta(t-nT) e^{-i\omega t} \ dt$

这就是采样序列$f(nT)$的DTFT：

$F_{DTFT}(e^{i \omega T}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT) \, e^{-in\omega T}$

为方便起见，通常将采样间隔T归一化，则有

$F_{DTFT}(e^{i \omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-in\omega}$

图1 DTFT频谱的周期混叠

上式即为$f(n)$的离散时间傅里叶变换。它的反变换为：

$f(n) =\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} F_{DTFT}(e^{i \omega})\,e^{i n \omega} \, d \omega$

考虑到DTFT的周期性，它的逆变换实际上是以周期的连续函数作为输入，离散的谱作为输出，这正是傅里叶级数的形式。

频谱的周期性与混叠

频谱周期性

$F_{DTFT}(e^{i \omega T})$具有周期性：

显然有:$F_{DTFT}(e^{i \omega T}) \,\!= F_{DTFT}(e^{i (\omega + 2\pi/T)T})$

频谱混叠

根据DTFT的定义，有

$F_{DTFT}(e^{i \omega T}) = \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t-nT) e^{-i\omega t} dt = \frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty} F(\omega - n \Omega) \ , \mbox{where } F(\omega)=\mathfrak{F}\{f(t)\} \ , \Omega=\frac{2\pi}{T}$

即，f(nT)的DTFT是f(t)的傅里叶变换以Ω为周期的延拓，这也从另一个角度证明了DTFT的周期性。很显然，如果f(t)的频谱不带限于Nyquist间隔（[-Ω/2, Ω/2]），f(nT)的DTFT必然发生混叠（aliasing）,如右图所示。混叠使得信号的低频部分被高频部分“污染”，造成信号的失真。为避免这种情况，通常在进行进一步的数字信号处理之前要对采样序列进行抗混叠滤波（anti-aliasing filtering），这一处理通常是由低通滤波器除去高频分量实现的。

DTFT与DFT

DFT（离散傅里叶变换）是对离散周期信号的一种傅里叶变换，对于有限长信号，则相当于对其周期延拓进行变换。在频域上，DFT的离散谱是对DTFT连续谱的等间隔采样。

$F_{DFT}(\omega_k) = \left. F_{DTFT}(e^{i \omega T}) \, \right|_{\omega = 2 \pi \frac{k}{N}} = \left. \sum_{n=0}^{N-1} f(nT) \,e^{-i \omega nT} \, \right|_{\omega = 2 \pi \frac{k}{N}} = \sum_{n=0}^{N-1} f(nT) \,e^{-i 2 \pi \frac{k n T}{N}}$

DTFT与DFT频率解析度

图2 DTFT与DFT。上图为10点DFT，下图为补零到12点的DFT。

N 点序列f(n)（n=0, ... ,N-1）的DFT离散谱对应于对f(nT) 连续谱（即DTFT）的N点采样，因此DFT的频率解析度$\Delta \omega = 2\pi/N$。为了提高频率解析度，可以考虑增加在DTFT频域上的采样点数，对偶在时域就是增加对时域信号 f(n) 的采样数。对于有限长信号f(n)，在时刻0 至N-1以外的值实际上是已知的——都为0。因此，只要在序列f(n) 前后补零就增加了在时域的采样，假设在f(n)前后补上M-N（其中M>N）个零，则补零之后序列的DFT的频率解析度就相应提高到$\Delta \omega = 2\pi/M$。相关证明如下：

假设在f(n)之后补上M-N个0，则其DFT为

$\sum_{n=0}^{M-1} f(n) \,e^{-i 2 \pi \frac{k n}{M}} \mbox{, where } k \in \{0, 1, \ldots, M - 1\}$

由于n=N,...,M-1时f(n)=0，所以有

$\sum_{n=0}^{N-1} f(n) \,e^{-i 2 \pi \frac{k n}{M}} + \sum_{n=N}^{M-1} f(n) \,e^{-i 2 \pi \frac{k n}{M}} = \sum_{n=0}^{N-1} f(n) \,e^{-i 2 \pi \frac{k n}{M}}$

File:DFT 20 points.jpg

图3 20点采样的DFT能够分辨f₁与f₂

通过上式可以清楚的看到，f(n)补零之后的DFT增加了在f(nT)连续频域谱上的采样。采样点数从N增加到M，从而提高了DFT频谱的解析度。另一方面，补零之后在频域采样的位置发生了变化，因此可以观察到其他的频点。

如图2所示，对信号$f(t) = 0.5 \cos (2 \pi f_1 t) + \cos (2 \pi f_2 t)$（其中$f_1=300 Hz$，$f_2 = 250Hz$）按照$f_s = 1000 Hz$采样。$f_1$与$f_2$对应的数字角频率分别为$\omega_1 = 0.6\pi$，$\omega_{2} = 0.5\pi$。上图为取10个采样点作DFT，可在0.6π处看到对应的频率分量，然而由于采样点少，看不到0.5π处的分量。下图为补2个零之后的DFT离散谱，可以见到离散谱的分辨率提高到了π/6，而且能够观察到10点DFT无法看到的0.5π频率分量。另外，虚线为DTFT连续谱，可见，DFT确实是在频域对DTFT的采样。

但是我们可以看到，即使是10点DTFT的连续谱也不能分辨$f_1$与$f_2$（只有一个峰）。这是因为10点DTFT的分辨率为f_s/10 = 100 Hz，大于f₁ - f₂ = 50 Hz。所以，只有采样的点数超过20（即分辨率小于50Hz），才能分辨出$f_1$与$f_2$这两个频率分量（如图3所示）。而前面提到的对有限长信号补零作DFT以提高频谱分辨率的说法，也只是针对在DTFT连续谱上采样而言，只有增加采样点数和提高采样频率才能真正提高离散谱的分辨率。

以DFT近似DTFT

前面提到，在时间序列前后补零之后作DFT可以增加在DTFT上的采样点数。可以想见，如果补上无穷多个零，则可以得到无穷多个DTFT连续谱上的采样点，从而以DFT逼近DTFT。即，使得离散谱的分辨率足够小，即为连续谱。

DTFT与Z变换

离散时间傅里叶变换可以被看作Z变换的特例。Z变换被定义为：

$F(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,z^{-n}$

如果在z平面的单位圆（$z = e^{i \omega}$）上对信号$f(n)$做Z变换：

$\left. F(z) \right|_{z = e^{i \omega}} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-in\omega} = F(e^{i \omega})$

此即为$f(n)$的离散时间傅里叶变换。因此通常用$F(e^{i \omega})$，而不是$F(\omega)$表示DTFT。

参看

• 离散傅里叶变换
• Z变换
• 傅里叶级数
• 采样定理

参考文献

• Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer : Discrete-Time Signal Processing, Prentice Hall Signal Processing Series, ISBN 0-13-754920-2
• Boaz Porat : A Course in Digital Signal Processing, pp. 27-29, pp. 104-105, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6
• Sophocles J. Orfanidis : Introduction to Signal Processing, Prentice Hall International, Inc., ISBN 7-32-03059-6