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小波分析

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小波分析(wavelet analysis)或小波轉換(wavelet transform)是指用有限長或快速衰減的、稱為母小波(mother wavelet)的振盪波形來表示信號。該波形被縮放平移以匹配輸入的信號。

小波一詞由MorletGrossman在1980年代早期提出。他們用的是法語ondelette - 意思就是"小波"。後來在英語裡,"onde"被改為"wave"而成了wavelet。

小波變換分成兩個大類:離散小波變換(DWT) 和連續小波轉換(CWT)。兩者的主要區別在於,連續變換在所有可能的縮放和平移上操作,而離散變換採用所有縮放和平移值的特定子集。

小波理論和幾個其他課題相關。所有小波變換可以視為時域頻域表示的形式,所以和調和分析相關。所有實際有用的離散小波變換使用包含有限脈衝響應濾波器的濾波器段(filter band)。構成CWT的小波受海森堡測不準原理制約,或者說,離散小波基可以在測不準原理的其他形式的情境中考慮。

母小波[编辑]

簡單來說(技術上並非如此),母小波函數\psi\ (t)必須滿足下列條件:

\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|\ ^2\, dt = 1,也即\psi\in L^2(\R)並單位化
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi\ (t)|\, dt <\infty,也即\psi\in L^1(\R)
\int_{-\infty}^{\infty} \psi\ (t)\, dt = 0

多數情況下,需要要求\psi連續且有一個矩為0的大整數M,也即對所有整數m<M

\int_{-\infty}^{\infty} t^m\,\psi\ (t)\, dt = 0

這表示母小波必須非0且均值為0。技術上來講,母小波必須滿足可採納性條件以使某個分辨率的恆等成立。

母小波的一些例子:

Meyer
Morlet
墨西哥帽

母小波縮放(或稱膨脹)a倍並平移b得到(根據Morlet的原始形式):

\psi _{a,b} (t) = {1 \over {\sqrt a }}\psi \left( {{{t - b} \over a}} \right)

這些函數常常被錯誤的稱為變換的基函數。實際上,沒有基函數存在。時域頻域解釋要用一個稍有區別的表述(由Delprat給出)。

和傅里葉變換比較[编辑]

小波變換經常和傅里葉變換做比較,在後者中信號用正弦函數的和來表示。兩者主要的區別是小波變換在時域和頻域都是定域的,而標準的傅里葉變換只在頻域上是定域的。短時距傅立葉變換(Short-time Fourier transform)(STFT)也是時域和頻域都定域化的,但有頻率和時間的分辨率問題。而小波分析通過多分辨率分析通常可以給出更好的信號表示。

小波變換的計算複雜度也更小,只需要\mathcal{O}(N)時間,快於快速傅里葉變換\mathcal{O}(N \log N),其中N代表數據大小。

小波的定義[编辑]

有幾種定義小波(或者小波族)的方法.

縮放濾波器[编辑]

小波完全通過縮放濾波器g——一個低通有限脈衝響應(FIR)長度為2N和為1的濾波器——來定義。在雙正交小波的情況,分解和重建的濾波器分別定義。

高通濾波器的分析作為低通的QMF來計算,而重建濾波器為分解的時間反轉。例如Daubechies和Symlet小波。

縮放函數[编辑]

小波由時域中的小波函數\psi (t) (即母小波)和縮放函數\phi (t) (也稱為父小波)來定義。

小波函數實際上是帶通濾波器,每一級縮放將帶寬減半。這產生了一個問題,如果要覆蓋整個譜需要無窮多的級。縮放函數濾掉變換的最低級並保證整個譜被覆蓋到。詳細解釋請參看[1]

對於有緊支撐的小波,\phi (t)可以視為有限長,並等價於縮放濾波器g。例如Meyer小波。

小波函數[编辑]

小波只有時域表示,作為小波函數 \psi (t)。例如墨西哥帽小波。

應用[编辑]

通常來講,DWT用於信號編碼而CWT用於信號分析。所以,DWT通常用於工程和計算機科學而CWT經常用於科學研究。小波變換現在被大量不同的應用領域採納,經常取代了傅里葉變換的位置。很多物理學的領域經歷了這個範式的轉變,包括分子動力學從頭計算(ab initio calculations),天文物理學密度矩陣局部化,地球物理學光學湍流,和量子力學。其他經歷了這種變化的學科有圖像處理,血壓,心率和心電圖分析,DNA分析,蛋白質分析,氣象學,通用信號處理語言識別計算機圖形學,和多分形分析

小波的一個用途是數據壓縮。和其他變換一樣,小波變換可以用於原始數據(例如圖像),然後將變換後的數據編碼,得到有效的壓縮。JPEG 2000是採用小波的圖像標準。細節請參看小波壓縮

歷史[编辑]

小波的發展和幾條不同的思路相關,最早的是Haar在20世紀早期的工作。對小波理論有突出貢獻的有Goupillaud, GrossmanMorlet的表述,現在稱為CWT (1982), Strömberg在離散小波上的早期工作(1983), 多貝西(Daubechies)的緊支撐正交小波(1988), Mallat的多分辨率框架(1989), DelpratCWT的時域頻域解釋 (1991), Newland的調和小波變換和之後的很多其他人。

時間線[编辑]

小波變換[编辑]

存在著大量的小波變換,每個適合不同的應用。完整的列表參看小波相關的變換列表,常見的如下:

小波列表[编辑]

離散小波[编辑]

連續小波[编辑]

相關條目[编辑]

參考[编辑]

外部鏈接[编辑]