分數傅立葉變換

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在數學文獻中，分數傅立葉變換(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅立葉變換的廣義化。近幾年來，分數傅立葉變換除了在信號處理領域有相當廣泛的應用，其也在數學上被單獨地研究，而定義出如分數迴旋積分(fractional convolution)、分數相關(fractional correlation)……等許多相關的數學運算。

分數傅立葉變換的物理意義即做傅立葉變換 $a$ 次，其中 $a$ 不一定要為整數；而做了分數傅立葉變換之後，信號或輸入函數便會出現在介於時域與頻域之間的分數域(fractional domain)，。

若再更進一步地廣義化分數傅立葉變換，則可推廣至線性標準變換(linear canonical transform,LCT)。

由來

對信號 $x(t)$ 做一次傅立葉變換的結果為$\mathcal{F}(x)$ ，做兩次傅立葉變換的結果為$\mathcal{F}(\mathcal{F}(x))$ ，我們表示成$\mathcal{F}^2=\mathcal{F}(\mathcal{F}(x))$ ，而當我們做了 $a$ 次的傅立葉變換可以寫成一般式 $\mathcal{F}^a(x)=\mathcal{F}^{(a-1)}(\mathcal{F}(x))$ 。至此，我們都以 $a$為整數做考量，當我們令 $a=\frac{2\phi}{\pi}$ 即 $\phi=\frac{1}{2} a\pi$ 時，我們將 $x(t)$ 的分數傅立葉變換定義為 $\mathcal{F}_\phi (x)=\mathcal{F}^{2\phi /\pi}(x)$，其中 $\phi$ 可以不必為整數。

定義

$X_\phi (u) = \sqrt{1-jcot\alpha}\cdot e^{j\pi \cdot cot\phi\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi \cdot csc\phi \cdot ut} e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot t^2} x(t) dt$

另外也有另外一種定義

$X_\phi (u) = \sqrt{\frac{1-jcot\alpha}{2\pi}}\cdot e^{j\frac{cot\phi}{2}\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-jcsc\phi \cdot ut} e^{j\frac{cot\phi}{2}\cdot t^2} x(t) dt$

當 $\phi = 0.5\pi$ 的時候，分數傅立葉變換就成了傅立葉變換。

特性

且$\mathcal{F}^2(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}(f))$ ，則可推廣為$\mathcal{F}^{(n+1)}(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}^n(f))$;依此類推，$\mathcal{F}^{-n}(F)$表示$F(\omega)$的n次逆變換$\mathcal{F}^{-1}(F)$。

而分數傅立葉變換將以上定義推廣至非整數次的$n=2\alpha/\pi$，且$\alpha$為實數，表示為$\mathcal{F}_\alpha(f)$，以下為其性質：

$\mathcal{F}_\alpha(f) = \mathcal{F}^{2\alpha/\pi}(f)$，當然$n=2\alpha/\pi$是一個整數時亦成立。

又$\mathcal{F}_{\alpha+\beta}(f) = \mathcal{F}_\alpha(\mathcal{F}_\beta(f)) = \mathcal{F}_\beta(\mathcal{F}_\alpha(f))$。

而$\mathcal{F}_\alpha(f)$更明確的定義如下： $\mathcal{F}_\alpha(f)(\omega) = \sqrt{\frac{1-i\cot(\alpha)}{2\pi}} e^{i \cot(\alpha) \omega^2/2} \int_{-\infty}^\infty e^{-i\csc(\alpha) \omega t + i \cot(\alpha) t^2/2} f(t) dt$

我們注意到，當$\alpha=\pi/2$時，這個定義就變成了連續傅立葉變換的定義 ; 而當$\alpha=-\pi/2$時，它就變成了連續傅立葉變換之逆變換的定義。 若$\alpha$為$\pi$的整數倍，則 餘切函數和餘割函數不會收斂。

在這樣的情況下，我們可以取limit讓以上定義變成有一個狄拉克δ函數被積分的情況。簡而言之，因為$\mathcal{F}^2(f)=f(-t)$，所以分別當$\alpha$是$\pi$的偶數倍或奇數倍時， 也就分別是$f(t)$或$f(-t)$。

另外像類似的離散傅立葉變換也存在這樣的分數推廣關係。

相關條目

其他的時間-頻率變換：

• 短時傅立葉變換
• 小波變換
• chirplet變換

外部連結

• DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time-frequency distributions

參考文獻

• V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," J. Inst. Appl. Math. 25, 241–265 (1980).
• Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," IEEE Trans. Sig. Processing 42 (11), 3084–3091 (1994).
• Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," IEEE Trans. Sig. Processing 49 (8), 1638–1655 (2001).
• D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," SIAM Review 33, 389-404 (1991). (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)
• Haldun M. Ozaktas, Zeev Zalevsky and M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics.