分數傅立葉變換

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數學文獻中,分數傅立葉變換(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅立葉變換的廣義化。近幾年來,分數傅立葉變換除了在信號處理領域有相當廣泛的應用,其也在數學上被單獨地研究,而定義出如分數迴旋積分(fractional convolution)、分數相關(fractional correlation)……等許多相關的數學運算。

分數傅立葉變換的物理意義即做傅立葉變換 a 次,其中 a 不一定要為整數;而做了分數傅立葉變換之後,信號或輸入函數便會出現在介於時域頻域之間的分數域(fractional domain),。

若再更進一步地廣義化分數傅立葉變換,則可推廣至線性標準變換(linear canonical transform,LCT)。

由來[编辑]

對信號 x(t) 做一次傅立葉變換的結果為\mathcal{F}(x) ,做兩次傅立葉變換的結果為\mathcal{F}(\mathcal{F}(x)) ,我們表示成\mathcal{F}^2=\mathcal{F}(\mathcal{F}(x)) ,而當我們做了 a 次的傅立葉變換可以寫成一般式 \mathcal{F}^a(x)=\mathcal{F}^{(a-1)}(\mathcal{F}(x)) 。至此,我們都以 a為整數做考量,當我們令 a=\frac{2\phi}{\pi}\phi=\frac{1}{2} a\pi 時,我們將 x(t)分數傅立葉變換定義為 \mathcal{F}_\phi (x)=\mathcal{F}^{2\phi /\pi}(x),其中 \phi 可以不必為整數。

歷史[编辑]

分數傅立葉變換這個概念,其實最早在西元1929年,N.Wiener 就已提出,但是並沒有受到太多的矚目。過了約莫50年, V.Namias 在西元1980年重新提出(稱之為Re-invent)這個概念,但是一直到西元1994年,才有人真正把分數傅立葉變換用在信號處理上,此人為 L. B. Almeida。 详细历史: 1937年提出分数傅立叶变换的概念雏形; 1980年 Namias 较明确地提出了分数傅立叶变换的数学表达式,并将其用于具有确定边界条件的量子力学 Schrödinger 方程的求解; 1987年 Bride & Kerr 给出严格的数学定义以及性质; 1993年由德国的学者 Lohmann, 土耳其的 Ozaktas 和以色列的 Mendlovic 等人首次将分数傅立叶变换概念引入光学并给出了相应的光学过程; Mendlovic & Ozaktas: 渐变折射率 GRIN 介质中光传播. A. W. Lohmann: Wigner 分布函数和以及透镜实现,自由空间的光衍射. 1993年Ozaktas, Lohmann, Mendlovic 等人在光学中全面引入分数傅立叶变换; 1995年 Shih 提出了另外一种分数傅立叶变换的形式; 1997年刘树田等人根据 Shih 的定义给出了广义分数傅立叶变换; 1999年刘树田等人将分数傅立叶变换应用于图像加密研究中; 2001年Ozaktas等人出版“分数傅立叶变换及其在光学和信号处理中应用”一书。

定義[编辑]

第一種定義:

X_\phi (u) = \sqrt{1-jcot\phi}\cdot e^{j\pi \cdot cot\phi\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi \cdot csc\phi \cdot ut} e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot t^2} x(t) dt 

第二種定義:

X_\phi (u) = \sqrt{\frac{1-jcot\phi}{2\pi}}\cdot e^{j\frac{cot\phi}{2}\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-jcsc\phi \cdot ut} e^{j\frac{cot\phi}{2}\cdot t^2} x(t) dt

\phi = 0.5a\pi,  a 為實數。

a=1 時 (亦即 \phi = 0.5\pi ),分數傅立葉變換就成了傅立葉變換

特性[编辑]

\mathcal{F}^2(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)) ,則可推廣為\mathcal{F}^{(n+1)}(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}^n(f));依此類推,\mathcal{F}^{-n}(F)表示F(\omega)的n次逆變換\mathcal{F}^{-1}(F)

分數傅立葉變換將以上定義推廣至非整數次的n=2\alpha/\pi,且\alpha實數,表示為\mathcal{F}_\alpha(f),以下為其性質:

\mathcal{F}_\alpha(f) = \mathcal{F}^{2\alpha/\pi}(f),當然n=2\alpha/\pi是一個整數時亦成立。

\mathcal{F}_{\alpha+\beta}(f) = \mathcal{F}_\alpha(\mathcal{F}_\beta(f)) = \mathcal{F}_\beta(\mathcal{F}_\alpha(f))

\mathcal{F}_\alpha(f)更明確的定義如下: \mathcal{F}_\alpha(f)(\omega) = 
\sqrt{\frac{1-i\cot(\alpha)}{2\pi}} 
e^{i \cot(\alpha) \omega^2/2} 
\int_{-\infty}^\infty 
e^{-i\csc(\alpha) \omega t + i \cot(\alpha) t^2/2}
f(t) dt

我們注意到,當\alpha=\pi/2時,這個定義就變成了連續傅立葉變換的定義 ; 而當\alpha=-\pi/2時,它就變成了連續傅立葉變換之逆變換的定義。 若\alpha\pi的整數倍,則 餘切函數餘割函數不會收斂。

在這樣的情況下,我們可以取limit讓以上定義變成有一個狄拉克δ函數被積分的情況。簡而言之,因為\mathcal{F}^2(f)=f(-t),所以分別當\alpha\pi的偶數倍或奇數倍時, 也就分別是f(t)f(-t)

另外像類似的離散傅立葉變換也存在這樣的分數推廣關係。

定理[编辑]

x(t) 的分數傅立葉轉換 (\phi)的時頻分布等同於 x(t) 的時頻分布(維格納分布(Wigner Distribution function),加伯轉換(Gabor Transform))順時針旋轉角度 \phi,用數學式子表示如下:


1. 維格納分布

假設

(a) W_x(t,f)x(t) 的維格納分布

(b) W_{X_\phi}(u,v)X_\phi(u) 的維格納分布

(c) X_\phi(u)x(t) 的分數傅立葉轉換

,則

W_{X_\phi}(u,v)=W_x(ucos(\phi)-vsin(\phi),usin(\phi)+vcos(\phi))


2. 加伯轉換

假設

(a) G_x(t,f)x(t) 的加伯轉換

(b) G_{X_\phi}(u,v)X_\phi(u) 的維格納分布

(c) X_\phi(u)x(t) 的分數傅立葉轉換

,則

G_{X_\phi}(u,v)=G_x(ucos(\phi)-vsin(\phi),usin(\phi)+vcos(\phi))

應用[编辑]

分離信號 (Signal Decomposition)[编辑]

時域分離 (Time Domain Decomposition)[编辑]

說明[编辑]

假設現在x(t)是由兩個信號組成:

x(t)=x_1(t)+x_2(t)

x_1(t)x_2(t) 用數學表示分別如下:


x_1(t) =
\begin{cases} 
1,  & \mbox{if }0<t<1\mbox{ } \\
0, & \mbox{otherwise }\mbox{ }
\end{cases}


x_2(t) =
\begin{cases} 
1,  & \mbox{if }8<t<10\mbox{ } \\
0, & \mbox{otherwise }\mbox{ }
\end{cases}



由式子可以很明顯地看出,這兩個信號是方波。

若要將這兩個信號分開,是非常簡單的一件事情,因為這兩個信號在時域(Time Domain)上毫無重疊,便可以直接在時域上將這兩個信號分開。

例子[编辑]

假設


h(t) =
\begin{cases} 
1,  & \mbox{if }-2<t<2\mbox{ } \\
0, & \mbox{otherwise }\mbox{ }
\end{cases}


x(t) 乘上 h(t) 時,x_1(t)這個信號會被保留,x_2(t)這個信號就被濾掉了。

因此此作法可成功將這兩個信號分開。

限制[编辑]

此種方法的限制為欲分離的信號必須在时域不能重疊,否則無法成功分離。


頻域分離 (Frequency domain decomposition)[编辑]

說明[编辑]

假設

x(t)=x_1(t)+x_2(t)
x_1(t)=sin(4\pi t)x_2(t)=cos(10\pi t)

可以很明顯地看出x_1(t)x_2(t) 在時域上完全重疊,因此很難在時域分離這兩個信號。

此時,可以妥善利用傅立葉轉換將信號x(t)轉到頻域(Frequency Domain),其在頻域的表示式如下所示:


X(f) = X_1(f)+X_2(f)


X_1(f) = {\frac{\delta (f-2)-\delta (f+2)}{2}}


X_2(f) = {\frac{\delta (f-5)+\delta (f+5)}{2}}

X(f)可以很明顯地看出,若要將這兩個信號在頻域上分開,是非常簡單的一件事情,因為這兩個信號經過傅立葉轉換後,在頻域上完全沒有重疊。

例子[编辑]

假設 H(f) 為一個低通濾波器(Low-pass Filter)


H(f) =
\begin{cases} 
1,  & \mbox{if }-3<t<3\mbox{ } \\
0, & \mbox{otherwise }\mbox{ }
\end{cases}


X(f) 乘上 H(f) 時,X_1(f) 會被保留,X_2(f) 就被濾掉了。

反之,若要保留 X_2(f) 而濾掉 X_1(f) ,則可以使用高通濾波器(High-pass Filter)。

這種把欲處理信號先轉換到頻域,再做分離的動作,是濾波器設計的常見方法之一。

限制[编辑]

欲分離的信號必須在頻域不能重疊,否則無法成功分離。


時頻域分離 (Time-Frequency domain decomposition)[编辑]

說明[编辑]

假設

x(t)=e^{j0.5(t-4)^2} (Chirp noise, 線性調頻) + 三角波信號。

不論在時域或是頻域,皆無法直接將噪音項e^{j0.5(t-4)^2}分離,這是因為e^{j0.5(t-4)^2}和三角波信號在時域和頻域皆重疊(如下圖左上、右上)。

因此,對於兩個在時、頻域皆重疊的信號來說,很難在一維的時域和頻域中將其分離。

但若使用二維時頻分析,則將有機會可以將兩個在時、頻域皆重疊的信號分離。

這是因為兩個在時、頻域皆重疊的信號其時頻分布並不一定會重疊。因此,只要這兩個信號的時頻分布沒有互相重疊,就可以善用分數傅立葉變換將其成功分離(如下圖左下、右下)。

比較使用分數傅立葉變換與傅立葉變換濾掉雜訊的效果


例子一[编辑]

假設有噪音干擾,所以接收到的信號除了原始信號以外,還包含了雜訊。

用時頻分析方法來處理接收到的信號,黑色為原始信號(signal)的時頻分布,而綠色為噪音(noise)的時頻分布,如下圖。

收到信號的時頻分布

現在我們想把雜訊濾掉,以下探討3種方法來還原原始信號。

方法1 : 使用垂直的 Cutoff line

若在時頻分布圖中使用垂直的 Cutoff line ,就相當於在一維時域中,要把信號和噪音分離。

但是由下圖可清楚看出,使用垂直的 Cutoff line 後,仍然會有一部分的噪音無法被去除。

因此方法1無法完美重建原始信號,而會有扭曲的情形發生。

垂直cutoff line


方法2 : 使用水平的 Cutoff line

若在時頻分布圖中使用水平的 Cutoff line ,就相當於在一維頻域中,要把信號和噪音分離。

但是由下圖可清楚看出,使用水平的 Cutoff line 後,仍然會有一部分的噪音無法被去除。

因此方法2也無法完美重建原始信號,而會有扭曲的情形發生。

水平cutoff line


方法3 : 使用斜的 Cutoff line

若在時頻分布圖中使用斜的 Cutoff line ,則可以完美分離信號和噪音。如下圖。

Cutoff line 的參數包含了 \phiu_0\phi 是cutoff line和縱軸f-axis的夾角,而 u_0 則是cutoff line 距離原點的距離。

水平cutoff line


以下示範如何使用分數傅立葉轉換和Cutoff line來將噪音濾除:

步驟(1) 首先決定cutoff line和縱軸f-axis的夾角 \phi

步驟(2) 利用分數傅立葉轉換對時頻分布旋轉 \phi,使 cutoff line 垂直橫軸 t-axis。

步驟(3) 算出 u_0後,再利用低通遮罩(Low pass Mask)將噪音濾掉。

步驟(4) 最後再做一次分數傅立葉轉換 -\phi,將時頻分布旋轉回原來的位置。


令接收到的信號為 x_i(t),最後得到的信號為 x_o(t),可將以上步驟用數學式子表示如下:

x_o(t)=X_{-\phi}[{X_\phi(x_i(t))H(u)}] 

H(u) =
\begin{cases} 
1,  & \mbox{if} u<u_0\mbox{ } \\
0, & \mbox{if} u>u_0\mbox{ }
\end{cases}


相關條目[编辑]

其他的時間-頻率變換:

外部連結[编辑]

參考文獻[编辑]

  • N. Wiener, "Hermitian polynomials and Fourier analysis," Journal of Mathematics Physics MIT, 18, 70-73 (1929).
  • V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," J. Inst. Appl. Math. 25, 241–265 (1980).
  • Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," IEEE Trans. Sig. Processing 42 (11), 3084–3091 (1994).
  • Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," IEEE Trans. Sig. Processing 49 (8), 1638–1655 (2001).
  • D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," SIAM Review 33, 389-404 (1991). (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)
  • Haldun M. Ozaktas, Zeev Zalevsky and M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics.
  • Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013