离散小波变換

维基百科，自由的百科全书

跳转到: 导航, 搜索
傅里叶变换族
拉普拉斯轉換
Z轉換
傅里叶级数
傅里叶变换
连续傅里叶变换
離散傅利葉級數
离散时间傅里叶变换
离散傅里叶变换
快速傅里叶变换
分數傅利葉轉換
短時傅利葉轉換
小波分析
離散小波轉換
编辑

離散小波變換（Discrete Wavelet Transform）在數值分析和時頻分析中很有用。第一個離散小波變換由匈牙利數學家發明，離散小波轉換顧名思義就是離散的輸入以及離散的輸出，但是這裡並沒有一個簡單而明確的公式來表示輸入及輸出的關係，只能以階層式架構來表示。

目录

[编辑] 定義

首先我們定義一些需要用到的信號及濾波器。
x[n]：離散的輸入信號
h[n]：low pass filter低通濾波器，可以將輸入信號的高頻部份濾掉而輸出低頻部份。
g[n]：high pass filter高通濾波器，與低通濾波器相反，濾掉低頻部份而輸出高頻部份。
\downarrow Q：downsampling filter降頻濾波器，使輸出信號的頻率變成輸入信號頻率的1/Q。

舉例說明:Image:DWT1.jpg則y[n]=x[Qn]

清楚規定以上符號之後，便可以利用階層架構來介紹如何將一個離散信號作離散小波轉換：
架構中的第1層(1st stage)

x_{1,L}[n]=\sum_{k=0}^{K-1} x[2n-k]h[k]
x_{1,H}[n]=\sum_{k=0}^{K-1} x[2n-k]g[k]
Image:DWT2.jpg

架構中的第2層(2nd stage)

x_{2,L}[n]=\sum_{k=0}^{K-1} x_{1,L}[2n-k]h[k]
x_{2,H}[n]=\sum_{k=0}^{K-1} x_{1,L}[2n-k]g[k]
Image:DWT3.jpg
\vdots
\vdots

架構中的第α層(α − th stage)

x_{\alpha ,L}[n]=\sum_{k=0}^{K-1} x_{\alpha -1,L}[2n-k]h[k]
x_{\alpha ,H}[n]=\sum_{k=0}^{K-1} x_{\alpha -1,L}[2n-k]g[k]
注意：若輸入信號x[n]的長度是N，則第α層中的xα,L[n]及xα,H[n]的長度為 \frac{N}{2^\alpha }

[编辑] 2-D Discrete Wavelet Transform

此時的輸入信號變成x[m,n]，而轉換過程變得更複雜，說明如下：
(1)首先對n方向作高通、低通以及降頻的處理

v_{1,L}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} x[m,2n-k]h[k]
v_{1,H}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} x[m,2n-k]g[k]

(2)接著對v1,L[m,n]與v1,H[m,n]延著m方向作高低通及降頻動作

x_{1,L}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} v_{1,L}[2m-k,n]h[k]
x_{1,H_1}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} v_{1,L}[2m-k,n]g[k]
x_{1,H_2}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} v_{1,H}[2m-k,n]h[k]
x_{1,H_3}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} v_{1,H}[2m-k,n]g[k]

經過(1)(2)兩個步驟才算完成2-D DWT的一個stage。

Image:DWT4.jpg

[编辑] 實際範例

以下根據上述2-D DWT的步驟，對一張影像作二維離散小波轉換(2D Discrete Wavelet Transform)

Image:DWT5.jpg

[编辑] 其他應用

壓縮、去除雜訊：使用低通濾波器，將小波轉換的高頻濾掉，即保留x1,L[m,n]而將其他部分捨棄。
邊緣偵測：使用高通濾波器，將小波的低頻濾掉，即保留 x_{1,H_1}[m,n] 或 x_{1,H_2}[m,n] 而捨棄其他部分。

来自“http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E5%B0%8F%E6%B3%A2%E8%AE%8A%E6%8F%9B”
个人工具