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Z轉換

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數學信号处理中,Z轉換英语Z-transform)把一連串離散實數複數訊號,從時域轉為复頻域表示。

可以把它认为是拉普拉斯变换的离散时间等价。在时标微积分中会探索它们的相似性。

定義[编辑]

像很多积分变换一样,Z变换可以有单边和双边定义。

双边Z变换[编辑]

双边Z轉換把离散時域信号 x[n] 轉為形式幂级数 X(Z)

X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}

當中 n 是整數,z 是複數变量,其表示方式為

z = A e^{j\phi} = A(\cos{\phi}+j\sin{\phi})\,

其中 Az 的模,j虚数单位,而 ɸ 为幅角(也叫相位角),用弧度表示。

单边Z变换[编辑]

另外,只对 n ≥ 0 定义的 x[n]单边Z变换定义为

X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} =  \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}.

信号处理中,这个定义可以用来计算离散时间因果系统单位冲激响应

单边Z变换的一个重要例子是概率母函数,其中 x[n] 部分是离散随机变量取 n 值时的概率,而函数 X(z) 通常写作 X(s),用 s = z−1 表示。Z变换的性质(在下面)在概率论背景下有很多有用的解释。

性质[编辑]

Z变换性质
时域 Z域 证明 收敛域
记法 x[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\} X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\} r_2<|z|<r_1
線性 a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n] a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z) \begin{align}X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (a_1x_1(n)+a_2x_2(n))z^{-n} \\
         &= a_1\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1(n)z^{-n} + a_2\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_2(n)z^{-n} \\
         &= a_1X_1(z) + a_2X_2(z) \end{align} Contains ROC1 ∩ ROC2
时间膨胀 x_K[n] = \begin{cases} x[r], & n = rK \\ 0, & n \not= rK \end{cases}

r: integer

X(z^K) \begin{align} X_K(z) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_K(n)z^{-n} \\
&= \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)z^{-rK}\\
&= \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)(z^{K})^{-r}\\
&= X(z^{K}) \end{align} R^{\frac{1}{K}}
降采样 x[nK] \frac{1}{K} \sum_{p=0}^{K-1} X\left(z^{\tfrac{1}{K}} \cdot e^{-i \tfrac{2\pi}{K} p}\right) ohio-state.edu  or  ee.ic.ac.uk
时移 x[n-k] z^{-k}X(z) \begin{align} Z\{x[n-k]\} &= \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-(j+k)}&& j = n-k \\
&= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-j}z^{-k} \\
&= z^{-k}\sum_{j=-k}^{\infty}x[j]z^{-j}\\
&= z^{-k}\sum_{j=0}^{\infty}x[j]z^{-j} && x[\beta] = 0,  \beta < 0\\
&= z^{-k}X(z)\end{align} ROC, except z = 0 if k > 0 and z = ∞ if k < 0
Z域的

尺度性质

a^n x[n] X(a^{-1}z) \begin{align}\mathcal{Z} \left \{a^n x[n] \right \} &=  \sum_{n=-\infty}^{\infty} a^{n}x(n)z^{-n} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(a^{-1}z)^{-n} \\
&= X(a^{-1}z)
\end{align} |a|r_2 < |z|< |a|r_1
时间反转 x[-n] X(z^{-1}) \begin{align} \mathcal{Z}\{x(-n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(-n)z^{-n} \\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m)z^{m}\\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m){(z^{-1})}^{-m}\\
&= X(z^{-1}) \\
\end{align} \tfrac{1}{r_1}<|z|<\tfrac{1}{r_2}
共轭复数 x^*[n] X^*(z^*) \begin{align} \mathcal{Z} \{x^*(n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x^*(n)z^{-n}\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left [x(n)(z^*)^{-n} \right ]^*\\
&= \left [ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(z^*)^{-n}\right ]^*\\
&= X^*(z^*)
\end{align}
实部 \operatorname{Re}\{x[n]\} \tfrac{1}{2}\left[X(z)+X^*(z^*) \right]
虚部 \operatorname{Im}\{x[n]\} \tfrac{1}{2j}\left[X(z)-X^*(z^*) \right]
微分 nx[n]  -z \frac{dX(z)}{dz} \begin{align} \mathcal{Z}\{nx(n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n}\\
&= z \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n-1}\\
&= -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(-nz^{-n-1})\\
&= -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\frac{d}{dz}(z^{-n}) \\
&= -z \frac{dX(z)}{dz}
\end{align}
卷积 x_1[n] * x_2[n] X_1(z)X_2(z) \begin{align} \mathcal{Z}\{x_1(n)*x_2(n)\} &= \mathcal{Z} \left \{\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l) \right \} \\
                                   &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l) \right ]z^{-n}\\
                                   &=\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l) \left [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n-l)z^{-n} \right ]\\
                                   &= \left [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)z^{-l} \right ] \! \!\left [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n)z^{-n} \right ] \\
                                   &=X_1(z)X_2(z)
\end{align} Contains ROC1 ∩ ROC2
互相关 r_{x_1,x_2}=x_1^*[-n] * x_2[n] R_{x_1,x_2}(z)=X_1^*(\tfrac{1}{z^*})X_2(z) Contains the intersection of ROC of X_1(\tfrac{1}{z^*}) and X_2(z)
一阶差分 x[n] - x[n-1]  (1-z^{-1})X(z) Contains the intersection of ROC of X1(z) and z ≠ 0
累积 \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]  \frac{1}{1-z^{-1} }X(z) \begin{align}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{n} x[k] z^{-n}&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]+\cdots + x[-\infty])z^{-n}\\
        &=X[z] \left (1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right )\\
        &=X[z] \sum_{j=0}^{\infty}z^{-j} \\
        &=X[z] \frac{1}{1-z^{-1}}\end{align}
乘法 x_1[n]x_2[n] \frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X_2(\tfrac{z}{v})v^{-1}\mathrm{d}v -

帕塞瓦尔定理

\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]x^*_2[n] \quad = \quad \frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X^*_2(\tfrac{1}{v^*})v^{-1}\mathrm{d}v

初值定理: 如果 x[n] 为因果的,那么

x[0]=\lim_{z\to \infty}X(z).

终值定理: 如果 (z−1)X(z) 的极点在单位圆内,则

x[\infty]=\lim_{z\to 1}(z-1)X(z).

一些常见的Z变换[编辑]

信号,x[n] Z变换,X(z) 收敛区域
1 \delta[n] \, 1\, 所有 z\,
2 \delta[n-n_0] \,  z^{-n_0} \,  z \neq 0\,
3 u[n] \,  \frac{1}{1-z^{-1} } |z| > 1\,
4 - u[-n-1] \,  \frac{1}{1 - z^{-1}} |z| < 1\,
5 n u[n] \,  \frac{z^{-1}}{( 1-z^{-1} )^2} |z| > 1\,
6  - n u[-n-1] \,  \frac{z^{-1} }{ (1 - z^{-1})^2 }  |z| < 1 \,
7 n^2 u[n] \,   \frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3} |z| > 1\,
8  - n^2 u[-n - 1] \,   \frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3} |z| < 1\,
9 n^3 u[n] \,  \frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4} |z| > 1\,
10 - n^3 u[-n -1] \,  \frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4} |z| < 1\,
11 a^n u[n] \,  \frac{1}{1-a z^{-1}}  |z| > |a|\,
12 -a^n u[-n-1] \,  \frac{1}{1-a z^{-1}} |z| < |a|\,
13 n a^n u[n] \,  \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 } |z| > |a|\,
14 -n a^n u[-n-1] \,  \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }  |z| < |a|\,
15 n^2 a^n u[n] \,  \frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3} |z| > |a|\,
16 - n^2 a^n u[-n -1] \,  \frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3} |z| < |a|\,
17 \cos(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }  |z| >1\,
18 \sin(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }  |z| >1\,
19 a^n \cos(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }  |z| > |a|\,
20 a^n \sin(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }  |z| > |a|\,

其他应用[编辑]

除数字信号处理领域外,Z-变换也是控制理论的重要基石。

此外,Z-变换亦可视为一种数列连续函数间的对应关系的定义,更可将对数列运算映射为对连续函数的运算。因此使用Z-变换可使一些数列相关问题得到简化(如排队论等)。