李雅普诺夫稳定性

當啟始點在區域V內，而軌跡均維持在區域U內（在 $x_0$ 附近），則系統在 $x_0$ 處為李雅普诺夫稳定

在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（英语：Lyapunov stability，或李亞普诺夫稳定性）可用來描述一個动力系统的穩定性。如果此动力系统任何初始條件在 $x_0$ 附近的軌跡均能維持在 $x_0$ 附近，那么该系统可以称为在 $x_0$ 處李雅普诺夫稳定。

若任何初始條件在 $x_0$ 附近的軌跡最後都趨近 $x_0$ ，那么该系统可以称为在 $x_0$ 處漸近稳定。指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率，也可以估計軌跡收斂的快慢。 ^[1]

李雅普诺夫稳定性可用在線性及非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普诺夫稳定性的概念可以延伸到無限維的流形，即為結構穩定性，是考慮微分方程中一群不同但「接近」的解的行為。輸入-狀態穩定性（ISS）則是將李雅普诺夫稳定性應用在有輸入的系統。

历史 [编辑]

这一稳定性以俄国数学家亚历山大·李亚普诺夫命名，他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》，文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫第一个考虑到在非线性系统到基于一个稳定点线性化的线性稳定理论的修正是必要的。他的作品，最初以俄文发行，后翻译为法文，但多年来来默默无闻。人们对它的兴趣突然在冷战初期（1953至1962年）开始，因当所谓的“李雅普诺夫第二方法”被认为适用于航空航天制导系统的稳定性，而这系统通常包含很强的非线性，其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现，并进入控制系统文献中。最近李雅普诺夫指数的概念（与李雅普诺夫稳定性第一种方法）引起了广泛兴趣，并与混沌理论结合了起来。

連續時間系統下的定義 [编辑]

考慮一個自治（autonomous）的非線式動態系統

$\dot{x} = f(x(t)), \;\;\;\; x(0) = x_0$ ,

其中 $x(t) \in \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^n$ 是系統的狀態向量， $\mathcal{D}$ 是原點的開鄰域，且 $f: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}^n$ 在 $\mathcal{D}$ 範圍內連續。我們可以不失一般性的假設原點即為一平衡點。

上述系統的原點為李雅普诺夫稳定的條件是：對於每個 $\epsilon > 0$ ，均存在 $\delta = \delta(\epsilon) > 0$ ，使得在 $\|x(0)\| < \delta$ 的條件下，只要 $t \geq 0$ ，則 $\|x(t)\| < \epsilon$ 。
上述系統的原點為漸近稳定的條件是：原點為李雅普诺夫稳定，均存在 $\delta > 0$ ，使得在 $\|x(0)\| < \delta$ 的條件下， $\lim_{t \rightarrow \infty}x(t) = 0$ 。
上述系統的原點為指數稳定的條件是：原點為漸近稳定，且存在 $\alpha, \beta, \delta >0$ 使得在 $\|x(0)\| < \delta$ 的條件下，只要 $t \geq 0$ ，則 $\|x(t)\| \leq \alpha\|x(0)\|e^{-\beta t}$ 。

以下是上述數學定義的說明：

一個平衡點為李雅普诺夫稳定，表示若一個解的初值「夠接近」平衡點（距平衡點的距離為 $\delta$ ），則其解會永遠維持在平衡點附近（距平衡點的距離不超過 $\epsilon$ ），且此條件需針對所有任意的 $\epsilon$ 都要成立。
漸近稳定的意思是，初值夠接近平衡點的解，不只是維持在平衡點附近，最後會收敛到平衡點。
指數稳定的意思是，解不但最後會收敛到平衡點，且收敛速度不慢於一已知的速率。

軌跡 x 為（區域的）吸引性（attractive），若針對所有夠接近的軌跡 y，下式均成立

$\|y(t)-x(t)\| \rightarrow 0$ for $t \rightarrow \infty$

若上述條件對所有軌跡均成立，則x有全域吸引性（globally attractive）。

因此，若x在穩定流形內，則x為漸近稳定的條件是有吸引性且穩定。（不過有吸引性不表示漸近稳定，利用同宿軌道（homoclinic orbit）就可以產生類似的反例。)

迭代系統下的定義 [编辑]

離散時間系統下穩定性的定義和連續時間系統下的定義幾乎相同。以下為其定義，不過使用的是較多數學書籍上使用的定義。

令 $(X,d)$ 為度量空間而 $f\colon X\to X$ 為一連續函數。點 $x\in X$ 為李雅普诺夫稳定若針對每個 $\epsilon>0$ 皆存在 $\delta>0$ 使得針對所有的 $y\in X$ 在以下條件成立時

$d(x,y)<\delta$

下式就會成立

$d(f^n(x),f^n(y))<\epsilon$

其中 $n\in \mathbb{N}$

$x$ 稱為漸近穩定若 $x$ 在穩定流形的內部。也就是存在 $\delta>0$ 使得 $d(x,y)<\delta$ 而且下式成立。

$\lim_{n\to\infty} d(f^n(x),f^n(y))=0$

李雅普诺夫穩定性理論 [编辑]

對於微分方程解之穩定性的研究稱為穩定性理論。而李雅普诺夫穩定性定理只提供了穩定性的充份條件。

李雅普诺夫穩定性第二定理 [编辑]

考慮一個函數 V(x) : Rⁿ → R 使得

$V(x) \ge 0$ 只有在 $x=0$ 處等號成立（正定函數）
$\dot{V}(x(t)) < 0$ （負定）

則V(x)稱為李雅普诺夫候選函數（Lyapunov function candidate），且系統（依李雅普诺夫的觀點）為漸近穩定。

上式中 $V(0)=0$ 是必要的條件。否則， $V(x) = 1/(1+|x|)$ 可以用來「證明」 $\dot x(t) = x$ 有區域性穩定。另一個稱為徑向無界性（radial unboundedness）的條件則是用來得到全域漸近穩定的結果。

此種分析方式可類比為考慮一物理系統（如彈簧及質量的系統）及其中的能量。若系統能量隨時間遞減，且減少的能量不會恢復，而此系統最後一定會靜止於某個特定的狀態。最後的狀態稱為吸引子。不過針對一個物理系統，找到表達其精確能量的函數不一定容易，而且針對抽象數學系統、經濟系統或生物系統，上述能量的概念又不一定適用。

利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系統實際能量的情形下，證明系統的穩定性。不過前提是可以找到滿足上述限制的李雅普诺夫函數。

例如考慮以下的系統

$\dot{x} = -x^3 \,$