李雅普诺夫稳定性

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當啟始點在區域V內,而軌跡均維持在區域U內(在x_0 附近),則系統在x_0處為李雅普诺夫稳定

数学自动控制领域中,李雅普诺夫稳定性英语Lyapunov stability,或李亞普诺夫稳定性)可用來描述一個动力系统的穩定性。如果此动力系统任何初始條件在 x_0 附近的軌跡均能維持在 x_0 附近,那么该系统可以称为在x_0李雅普诺夫稳定

若任何初始條件在 x_0 附近的軌跡最後都趨近x_0,那么该系统可以称为在x_0漸近稳定指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率,也可以估計軌跡收斂的快慢。 [1]

李雅普诺夫稳定性可用在線性非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得,因此李雅普诺夫稳定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普诺夫稳定性的概念可以延伸到無限維的流形,即為結構穩定性,是考慮微分方程中一群不同但「接近」的解的行為。輸入-狀態穩定性(ISS)則是將李雅普诺夫稳定性應用在有輸入的系統。

历史[编辑]

这一稳定性以俄国数学家亚历山大·李亚普诺夫命名,他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》,文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫第一个考虑到在非线性系统到基于一个稳定点线性化的线性稳定理论的修正是必要的。他的作品,最初以俄文发行,后翻译为法文,但多年来来默默无闻。人们对它的兴趣突然在冷战初期(1953至1962年)开始,因当所谓的“李雅普诺夫第二方法”被认为适用于航空航天制导系统的稳定性,而这系统通常包含很强的非线性,其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现,并进入控制系统文献中。最近李雅普诺夫指数的概念(与李雅普诺夫稳定性第一种方法)引起了广泛兴趣,并与混沌理论结合了起来。

連續時間系統下的定義[编辑]

给定一个完备赋范向量空间E(例如\mathbb{R}^n),设UE子集。考慮一個自治的非线性动力系统

\dot{x} = f(x(t)), \;\;\;\; x(t_0) = x_0,

其中x(t) \in U 是系統的狀態向量f: U \rightarrow EU上的连续函数

假设函数f有一个零点:f(a) = 0,则常数函数:x = a是动力系统的驻定解(或称平衡解)。称a是动力系统的平衡點

  1. 称點a李雅普诺夫稳定(简称稳定),如果對每個\epsilon > 0,均存在\delta = \delta(\epsilon) > 0,使得对所有满足\|x_0 - a\| < \deltax_0,只要t \geqslant t_0,就有\|x(t)-a\| < \epsilon
  2. 称點a漸近稳定,如果點a李雅普诺夫稳定,且存在\delta > 0,使得对所有满足 \|x_0 - a\| < \deltax_0\lim_{t \rightarrow \infty}x(t) = a
  3. 称點a指數稳定,如果點a漸近稳定,且存在 \alpha, \beta, \delta >0 使得对所有满足\|x_0 - a\| < \deltax_0,只要t \geqslant t_0,就有\|x(t) - a\| \leq \alpha\|x_0 - a\|e^{-\beta t}

它们的直观几何意义是:

  1. 平衡點為李雅普诺夫稳定的,表示若动力系统状态函数(微分方程的解函数)的初值「足夠接近」平衡點,則它會永遠維持在平衡點附近任意小的范围里(距平衡點的距離不超過任意选择的正实数 \epsilon)。
  2. 漸近稳定的意思是,初值足夠接近平衡點的状态函数,不但維持在平衡點附近,而且最後會收敛到平衡點。
  3. 指數稳定的意思是,状态函数不但最後會收敛到平衡點,且收敛速度不慢於某种指数递减的速度。

设有状态函数x,其初始取值为x(t_0) = x_0。称\bar{x} = \{ x(t); \; t \geqslant t_0 \}x的轨迹。如果對所有初始值与x足够接近的状态函数y,两者的轨迹会趋于相同:

\lim_{t \to \infty}\|y(t)-x(t)\| \longrightarrow 0.

则称x的轨迹有(局部)吸引性(attractive)。若上述條件對所有y均成立,則称x有全局吸引性(globally attractive)。

如果x的轨迹有吸引性,并且穩定,则x漸近稳定。不過,x有吸引性不表示它的轨迹漸近稳定。

迭代系統下的定義[编辑]

離散時間系統下穩定性的定義和連續時間系統下的定義幾乎相同。以下為其定義,不過使用的是較多數學書籍上使用的定義。

给定度量空間(X,d)。设f\colon X\to X為一連續函數。稱點 a \in X李雅普诺夫稳定,如果對任意\epsilon>0,都存在\delta>0,使得只要x \in X满足 d(x,a)<\delta,就有

\forall n\in \mathbb{N} , \; \; d(f^n(x),f^n(a))<\epsilon.

稱點a漸近穩定,如果a是李雅普诺夫稳定的点,而且在稳定点集合的内部,即存在\delta>0,使得只要x \in X满足 d(x,a)<\delta,就有

\lim_{n\to\infty} d(f^n(x),f^n(a))=0

李雅普诺夫穩定性理論[编辑]

對於微分方程解之穩定性的研究稱為穩定性理論。而李雅普诺夫穩定性定理只提供了穩定性的充份條件。

李雅普诺夫穩定性第二定理[编辑]

考慮一個函數 V(x) : RnR 使得

V(x)稱為李雅普诺夫候選函數(Lyapunov function candidate),且系統(依李雅普诺夫的觀點)為漸近穩定

上式中 V(0)=0 是必要的條件。否則,V(x) = 1/(1+|x|)可以用來「證明」 \dot x(t) = x有區域性穩定。另一個稱為徑向無界性(radial unboundedness)的條件則是用來得到全域漸近穩定的結果。

此種分析方式可類比為考慮一物理系統(如彈簧及質量的系統)及其中的能量。若系統能量隨時間遞減,且減少的能量不會恢復,而此系統最後一定會靜止於某個特定的狀態。最後的狀態稱為吸引子。不過針對一個物理系統,找到表達其精確能量的函數不一定容易,而且針對抽象數學系統、經濟系統或生物系統,上述能量的概念又不一定適用。

利用李雅普诺夫的分析方式,可在不知道系統實際能量的情形下,證明系統的穩定性。不過前提是可以找到滿足上述限制的李雅普诺夫函數

例如考慮以下的系統

\dot{x} = -x^3 \,

希望用李雅普诺夫函數來確認x = 0 \,附近的穩定性。令

V(x) = 0.5 x^2 \,

V(x)本身為正定函數.而V(x)的導函數如下

\dot{V}(x(t)) = {\part V \over \part x}(-x^3) = -x^4 \,

為負定函數,因此上述系統在x = 0 \,附近為漸近穩定。

線性系統狀態空間模型的穩定性[编辑]

一個線性的狀態空間模型

\dot{\textbf{x}} = A\textbf{x}

為漸近穩定(其實是指數穩定),若

A^{T}M + MA + N = 0

的解存在。

其中 N = N^{T} > 0M = M^{T} > 0 (正定矩陣)。(對應的李雅普诺夫函數為V(x) = x^TMx

有輸入值系統的穩定性[编辑]

一個有輸入(或受控制)的系統可以下式表示

\dot{\textbf{x}} = \textbf{f(x,u)}

其中輸入 u(t) 可視為控制外部輸入擾動刺激外力。這種系統的研究是控制理論研究的主題之一,也應用在控制工程中。

對於有輸入的系統,需量化輸入對系統穩定性的影響。在線性系統中會用BIBO穩定性來作分析的工具,在非線性系統中則會使用輸入-狀態穩定性

參考資料[编辑]

  1. ^ Jean-Jacques E. Slotine and Weiping Li. Applied Nonlinear Control. Prentice Hall. 1991. ISBN 0130408905. 

外部連結[编辑]