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Z轉換

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數學訊號處理中,Z轉換英語Z-transform)把一連串離散實數複數訊號,從時域轉為復頻域表示。

可以把它認為是拉普拉斯變換的離散時間等價。在時標微積分中會探索它們的相似性。

定義[編輯]

像很多積分變換一樣,Z轉換可以有單邊和雙邊定義。

雙邊Z轉換[編輯]

雙邊Z轉換把離散時域訊號 x[n] 轉為形式冪級數 X(Z)

X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}

當中 n 是整數,z 是複數變量,其表示方式為

z = A e^{j\phi} = A(\cos{\phi}+j\sin{\phi})\,

其中 Az 的模,j虛數單位,而 ɸ 為幅角(也叫相位角),用弧度表示。

單邊Z轉換[編輯]

另外,只對 n ≥ 0 定義的 x[n]單邊Z轉換定義為

X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} =  \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}.

訊號處理中,這個定義可以用來計算離散時間因果系統單位衝激響應

單邊Z轉換的一個重要例子是概率母函數,其中 x[n] 部分是離散隨機變量取 n 值時的概率,而函數 X(z) 通常寫作 X(s),用 s = z−1 表示。Z轉換的性質(在下面)在概率論背景下有很多有用的解釋。

性質[編輯]

Z轉換性質
時域 Z域 證明 收斂域
記法 x[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\} X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\} r_2<|z|<r_1
線性 a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n] a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z) \begin{align}X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (a_1x_1(n)+a_2x_2(n))z^{-n} \\
         &= a_1\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1(n)z^{-n} + a_2\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_2(n)z^{-n} \\
         &= a_1X_1(z) + a_2X_2(z) \end{align} Contains ROC1 ∩ ROC2
時間膨脹 x_K[n] = \begin{cases} x[r], & n = rK \\ 0, & n \not= rK \end{cases}

r: integer

X(z^K) \begin{align} X_K(z) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_K(n)z^{-n} \\
&= \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)z^{-rK}\\
&= \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)(z^{K})^{-r}\\
&= X(z^{K}) \end{align} R^{\frac{1}{K}}
降採樣 x[nK] \frac{1}{K} \sum_{p=0}^{K-1} X\left(z^{\tfrac{1}{K}} \cdot e^{-i \tfrac{2\pi}{K} p}\right) ohio-state.edu  or  ee.ic.ac.uk
時移 x[n-k] z^{-k}X(z) \begin{align} Z\{x[n-k]\} &= \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-(j+k)}&& j = n-k \\
&= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-j}z^{-k} \\
&= z^{-k}\sum_{j=-k}^{\infty}x[j]z^{-j}\\
&= z^{-k}\sum_{j=0}^{\infty}x[j]z^{-j} && x[\beta] = 0,  \beta < 0\\
&= z^{-k}X(z)\end{align} ROC, except z = 0 if k > 0 and z = ∞ if k < 0
Z域的

尺度性質

a^n x[n] X(a^{-1}z) \begin{align}\mathcal{Z} \left \{a^n x[n] \right \} &=  \sum_{n=-\infty}^{\infty} a^{n}x(n)z^{-n} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(a^{-1}z)^{-n} \\
&= X(a^{-1}z)
\end{align} |a|r_2 < |z|< |a|r_1
時間反轉 x[-n] X(z^{-1}) \begin{align} \mathcal{Z}\{x(-n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(-n)z^{-n} \\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m)z^{m}\\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m){(z^{-1})}^{-m}\\
&= X(z^{-1}) \\
\end{align} \tfrac{1}{r_1}<|z|<\tfrac{1}{r_2}
共軛複數 x^*[n] X^*(z^*) \begin{align} \mathcal{Z} \{x^*(n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x^*(n)z^{-n}\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left [x(n)(z^*)^{-n} \right ]^*\\
&= \left [ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(z^*)^{-n}\right ]^*\\
&= X^*(z^*)
\end{align}
實部 \operatorname{Re}\{x[n]\} \tfrac{1}{2}\left[X(z)+X^*(z^*) \right]
虛部 \operatorname{Im}\{x[n]\} \tfrac{1}{2j}\left[X(z)-X^*(z^*) \right]
微分 nx[n]  -z \frac{dX(z)}{dz} \begin{align} \mathcal{Z}\{nx(n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n}\\
&= z \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n-1}\\
&= -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(-nz^{-n-1})\\
&= -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\frac{d}{dz}(z^{-n}) \\
&= -z \frac{dX(z)}{dz}
\end{align}
摺積 x_1[n] * x_2[n] X_1(z)X_2(z) \begin{align} \mathcal{Z}\{x_1(n)*x_2(n)\} &= \mathcal{Z} \left \{\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l) \right \} \\
                                   &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l) \right ]z^{-n}\\
                                   &=\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l) \left [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n-l)z^{-n} \right ]\\
                                   &= \left [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)z^{-l} \right ] \! \!\left [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n)z^{-n} \right ] \\
                                   &=X_1(z)X_2(z)
\end{align} Contains ROC1 ∩ ROC2
互相關 r_{x_1,x_2}=x_1^*[-n] * x_2[n] R_{x_1,x_2}(z)=X_1^*(\tfrac{1}{z^*})X_2(z) Contains the intersection of ROC of X_1(\tfrac{1}{z^*}) and X_2(z)
一階差分 x[n] - x[n-1]  (1-z^{-1})X(z) Contains the intersection of ROC of X1(z) and z ≠ 0
累積 \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]  \frac{1}{1-z^{-1} }X(z) \begin{align}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{n} x[k] z^{-n}&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]+\cdots + x[-\infty])z^{-n}\\
        &=X[z] \left (1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right )\\
        &=X[z] \sum_{j=0}^{\infty}z^{-j} \\
        &=X[z] \frac{1}{1-z^{-1}}\end{align}
乘法 x_1[n]x_2[n] \frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X_2(\tfrac{z}{v})v^{-1}\mathrm{d}v -

帕塞瓦爾定理

\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]x^*_2[n] \quad = \quad \frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X^*_2(\tfrac{1}{v^*})v^{-1}\mathrm{d}v

初值定理: 如果 x[n] 為因果的,那麼

x[0]=\lim_{z\to \infty}X(z).

終值定理: 如果 (z−1)X(z) 的極點在單位圓內,則

x[\infty]=\lim_{z\to 1}(z-1)X(z).

一些常見的Z轉換[編輯]

訊號,x[n] Z轉換,X(z) 收斂區域
1 \delta[n] \, 1\, 所有 z\,
2 \delta[n-n_0] \,  z^{-n_0} \,  z \neq 0\,
3 u[n] \,  \frac{1}{1-z^{-1} } |z| > 1\,
4 - u[-n-1] \,  \frac{1}{1 - z^{-1}} |z| < 1\,
5 n u[n] \,  \frac{z^{-1}}{( 1-z^{-1} )^2} |z| > 1\,
6  - n u[-n-1] \,  \frac{z^{-1} }{ (1 - z^{-1})^2 }  |z| < 1 \,
7 n^2 u[n] \,   \frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3} |z| > 1\,
8  - n^2 u[-n - 1] \,   \frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3} |z| < 1\,
9 n^3 u[n] \,  \frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4} |z| > 1\,
10 - n^3 u[-n -1] \,  \frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4} |z| < 1\,
11 a^n u[n] \,  \frac{1}{1-a z^{-1}}  |z| > |a|\,
12 -a^n u[-n-1] \,  \frac{1}{1-a z^{-1}} |z| < |a|\,
13 n a^n u[n] \,  \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 } |z| > |a|\,
14 -n a^n u[-n-1] \,  \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }  |z| < |a|\,
15 n^2 a^n u[n] \,  \frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3} |z| > |a|\,
16 - n^2 a^n u[-n -1] \,  \frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3} |z| < |a|\,
17 \cos(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }  |z| >1\,
18 \sin(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }  |z| >1\,
19 a^n \cos(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }  |z| > |a|\,
20 a^n \sin(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }  |z| > |a|\,

其他應用[編輯]

除數碼訊號處理領域外,Z-變換也是控制理論的重要基石。

此外,Z-變換亦可視為一種數列連續函數間的對應關係的定義,更可將對數列運算映射為對連續函數的運算。因此使用Z-變換可使一些數列相關問題得到簡化(如排隊論等)。