舞蹈链

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The Dancing Links algorithm solving a polycube puzzle

计算机科学 中, Dancing Links ,舞蹈链, 也叫 DLX, 是由 Donald Knuth 提出的技术,目的是快速实现他的 Algorithm X.[1] Algorithm X 是一种递归算法,时间复杂度不确定, 深度优先, 通过回溯寻找完全覆盖问题所有可能的解。有一些著名的完全覆盖问题,包括铺砖块,八皇后问题,数独问题。

名字来自于这个算法的工作方式,算法中的迭代让链接与同伴链接"跳舞",很像“精心编排的舞蹈”。 Knuth 归功于 Hiroshi Hitotsumatsu 与 Kōhei Noshita 在1979的研究 ,[2] 但是Knuth的论文让舞蹈链流行。

算法实现[编辑]

文章的剩余部分讨论这种算法在Algorithm X中的应用,强烈建议读者先阅读 Algorithm X

主要思想[编辑]

舞蹈链的主要思想来自于 双向链表

x.left.right ← x.right;
x.right.left ← x.left;

以上代码会从链表中移除x元素

x.left.right ← x;
x.right.left ← x;

以上代码会恢复x元素在链表中的位置(如果x的左侧元素和右侧元素没有变的话)。不管链表中有多少个元素,就算只有一个,算法也可以工作。

Knuth 发现用朴素算法实现Algorithm X会花费大量的时间来搜索1。当要选择一列的时候,要搜索整个矩阵来找到1。当选择一行的时候,需要在整列中搜索1。为了把搜索时间从 complexity O(n) 降到 O(1), Knuth 使用了一个 稀疏矩阵 ,只存放所有1 的位置。

无论何时,矩阵中的每个节点都会与左边和右边的节点(原始矩阵中的1的位置)、上面和下面(原始矩阵中同一列的1),以及列头连接。每一行和每一列都会形成一个双向链表。

链表头[编辑]

每一列都会有特殊的,叫做“列头”的节点,作为列表中的一部分。列头形成了特殊的一行,(“控制行”)包括了原始矩阵中还存在的每一列。

最后,每一列的头会记录这一列中节点的个数,我们可以用这些信息来定位节点最少的一列,只花费complexity O(n) 的时间复杂度。 (而不是O(n×m)),这里的n指的是列的个数,m指的是行的个数。选择节点最少的一列来进行搜索在一些情况下可以提高性能,但不是每个问题中都需要这么做。

搜索[编辑]

在 Algorithm X中,行与列是按照规则生成的,存储着原始矩阵。每次移除一列以及那列中的一行。如果选中的列没有包括任何行,当前的矩阵是无解的,必须回溯。当移除元素时,每一列中与那一行有交叉点的(原始矩阵中的1)都会被移除。列被移除了,因为他们已经被填满,行被移除是因为他们与指定的列有冲突。要移除某一列,要先移除那列的头,接着,遍历所有与这一列有交集的行,把那行与其他行的交点都去掉(这样阻止了这些列与当前列的冲突)。对包含1的列重复这样的列移除操作。这样的做法保证每个节点只被移除一次,并且按照顺序,这样就可以正确地回溯了。如果代入过程的矩阵没有任何的行,那么这已经被填满,选中的列就是一个解。

回溯[编辑]

要回溯,之前的操作需要反过来做一遍,使用刚才提到的第二个算法。Knuth 的论文给了一个清晰的这两个操作的关系以及移除、恢复操作的具体方式,并放宽了要求。

有可能出现的制约因素[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Knuth, Donald. Dancing links. Millenial Perspectives in Computer Science. P159. 2000, 187 [2006-07-11]. arXiv:cs/0011047. 
  2. ^ Hitotumatu, Hirosi; Noshita, Kohei. A Technique for Implementing Backtrack Algorithms and its Application. Information Processing Letters. 1979, 8 (4): 174–175. doi:10.1016/0020-0190(79)90016-4. 

外部連結[编辑]


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