裂項和

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裂项求和(Telescoping sum)是一個非正式的用語,指一種用來計算級數的技巧:每項可以分拆,令上一項和下一項的某部分互相抵消,剩下頭尾的項需要計算,從而求得級數和。

\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1}) = (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\ldots+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}.

裂項積(Telescoping product)也是差不多的概念:

\prod_{i=1}^n \frac{a_i}{a_{i+1}} = \frac{a_1}{a_{n+1}}

可以用來裂项求和的數學式[编辑]

\frac{1}{a(a+b)}=\frac{1}{b}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b})

a^k=\frac{1}{a-1}(a^{k+1}-a^k)

coskx=\frac{1}{2sin\frac{x}{2}}[sin(k+\frac{1}{2})x-sin(k-\frac{1}{2})x]

sinkx=\frac{1}{2sin\frac{x}{2}}[cos(k-\frac{1}{2})x-cos(k-\frac{1}{2})x]三角恒等式[1]

C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}帕斯卡法則

\frac{1}{C_n^k}=\frac{n+1}{n+2}(\frac{1}{C_{n+1}^k}+\frac{1}{C_{n+1}^{k+1}})[2]

求和类型[编辑]

一般求和[编辑]

若有a_k=b_k-b_{k+1},则\sum_{k=m}^n a_k=b_m-b_{n+1}

\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{n+1}

交错求和[编辑]

若有a_k=b_k+b_{k+1},则\sum_{k=m}^n (-1)^k a_k=(-1)^m b_m+(-1)^{n+1} b_{n+1}

\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{C_{2n}^k}=\frac{2n+1}{2n+2}\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} (\frac{1}{C_{2n+1}^k}+\frac{1}{C_{2n+1}^{k+1}})=\frac{2n+1}{2n+2} (\frac{1}{C_{2n+1}^1}+\frac{(-1)^{2n-1}}{C_{2n+1}^{2n+1}})=\frac{2n+1}{2n+2}(\frac{-2n}{2n+1})=\frac{-n}{n+1}

誤用[编辑]

0 = \sum_{n=1}^\infty 0 = \sum_{n=1}^\infty (1-1) = 1 + \sum_{n=1}^\infty (-1 + 1) = 1\,

這是錯誤的。將每項重組的方法只適用於獨立的項趨近0。

防止這種錯誤,可以先求首N項的值,然後取N趨近無限的值。


\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} - \frac{1}{(n+1)}\,
= \left(1 - \frac{1}{2}\right)
+  \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots
+ \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right)\,
=  1 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)
+ \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots
+ \left(-\frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} \,
= 1 - \frac{1}{N+1}\to 1\ \mathrm{as}\ N\to\infty.\,

例子:三角函數[编辑]

\sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) = \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(n\right)\right)
=\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \sum_{n=1}^N \left(\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right)-\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right)
=\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right).

參考資料[编辑]

  1. ^ 裂项法求和的一般原理和法则. 
  2. ^ 及万会 张来萍 杨春艳. 封闭形和式初步. 

外部連結[编辑]