裂項和

裂项求和（Telescoping sum）是一個非正式的用語，指一種用來計算級數的技巧：每項可以分拆，令上一項和下一項的某部分互相抵消，剩下頭尾的項需要計算，從而求得級數和。

$\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1}) = (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\ldots+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}.$

裂項積（Telescoping product）也是差不多的概念：

$\prod_{i=1}^n \frac{a_i}{a_{i+1}} = \frac{a_1}{a_{n+1}}$

誤用

$0 = \sum_{n=1}^\infty 0 = \sum_{n=1}^\infty (1-1) = 1 + \sum_{n=1}^\infty (-1 + 1) = 1\,$

這是錯誤的。將每項重組的方法只適用於獨立的項趨近0。

防止這種錯誤，可以先求首N項的值，然後取N趨近無限的值。

$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} - \frac{1}{(n+1)}\,$

$= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right)\,$

$= 1 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(-\frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} \,$

$= 1 - \frac{1}{N+1}\to 1\ \mathrm{as}\ N\to\infty.\,$

例子：三角函數

$\sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) = \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(n\right)\right)$

$=\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \sum_{n=1}^N \left(\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right)-\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right)$

$=\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right).$

外部連結

• http://www.math.wisc.edu/~rhoades/Notes/buFall2005putnam.pdf