邏輯矩陣

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逻辑矩阵(或者布尔矩阵)是由布尔域B = {0, 1}组成的矩阵。这样的矩阵可以用来表示一对有限集合之间的二元关系

关系的矩阵表示[编辑]

如果R是有限集合XY之间的一个二元关系( RX×Y),那么R可以用矩阵M来表示,M的行索引和列索引由XY两个集合分别给出。M的元素定义如下:

M_{i,j} =
 \begin{cases}
   1 & (i, j) \in R \\
   0 & (i, j) \not\in R
 \end{cases}

注意,在以上定义中,假设了矩阵索引可以出自任意有限集合。如果要求索引是来自某集合 {1, 2, ..., n}的整数,必须用一个n维的有限集合与集合 {1, 2, ..., n}的双射(一一对应)来把原来集合的元素表示成整数。

例子[编辑]

自然数集合{1, 2, 3, 4}的二元关系整除由以下自然数对集合组成:

{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.

相应的布尔矩阵表示为:

\begin{pmatrix}
   1 & 1 & 1 & 1 \\
   0 & 1 & 0 & 1 \\
   0 & 0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}.

一些性质[编辑]

表示有限集合上的相等关系矩阵是单位矩阵,即对角线的元素均为1,其他元素为0。

如果布尔域被看作是半环的,加法对应于逻辑或,乘法对应于逻辑与,两个关系的合成的矩阵表示等于表示这些关系的矩阵的矩阵乘法