馬爾可夫性質
馬爾可夫性質（英語：Markov property）是概率論中的一個概念，因為俄國數學家安德雷·馬可夫得名[1]。當一個隨機過程在給定現在狀態及所有過去狀態情況下，其未來狀態的條件概率分布僅依賴於當前狀態；換句話說，在給定現在狀態時，它與過去狀態（即該過程的歷史路徑）是條件獨立的，那麼此隨機過程即具有馬爾可夫性質。具有馬爾可夫性質的過程通常稱之為馬爾可夫過程。
數學上，如果為一個隨機過程，則馬爾可夫性質就是指
![{\displaystyle \mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)=y\,|\,X(s)=x(s),s\leq t{\big ]}=\mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)=y\,|\,X(t)=x(t){\big ]},\quad \forall h>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a6129f9ba1a9ed334f56c45590db0743eabe58)
馬爾可夫過程通常稱其為（時間）齊次，如果滿足
![{\displaystyle \mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)=y\,|\,X(t)=x(t){\big ]}=\mathrm {Pr} {\big [}X(h)=y\,|\,X(0)=x(0){\big ]},\quad \forall t,h>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b635c7476d943f655adcba42f3e7a55ab8f5c079)
除此之外則被稱為是（時間）非齊次的。齊次馬爾可夫過程通常比非齊次的簡單，構成了最重要的一類馬爾可夫過程。
某些情況下，明顯的非馬爾可夫過程也可以通過擴展「現在」和「未來」狀態的概念來構造一個馬爾可夫表示。設為一個非馬爾可夫過程。我們就可以定義一個新的過程，使得每一個的狀態表示的一個時間區間上的狀態，用數學方法來表示，即，
![{\displaystyle Y(t)={\big \{}X(s):s\in [a(t),b(t)]\,{\big \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d6e381d59b76a48ff453d6a16129ba7f2fd239)
如果具有馬爾可夫性質，則它就是的一個馬爾可夫表示。 在這個情況下，也可以被稱為是二階馬爾可夫過程。更高階馬爾可夫過程也可類似地來定義。
具有馬爾可夫表示的非馬爾可夫過程的例子，例如有移動平均時間序列。
最有名的馬爾可夫過程為馬爾可夫鏈，但不少其他的過程，包括布朗運動也是馬爾可夫過程。
相關條目[編輯]
參考文獻[編輯]
- ^ Markov, A. A. (1954). Theory of Algorithms. [Translated by Jacques J. Schorr-Kon and PST staff] Imprint Moscow, Academy of Sciences of the USSR, 1954 [Jerusalem, Israel Program for Scientific Translations, 1961; available from Office of Technical Services, United States Department of Commerce] Added t.p. in Russian Translation of Works of the Mathematical Institute, Academy of Sciences of the USSR, v. 42. Original title: Teoriya algorifmov. [QA248.M2943 Dartmouth College library. U.S. Dept. of Commerce, Office of Technical Services, number OTS 60-51085.]