凱澤窗

凱澤窗

凱澤窗（Kaiser window）是由貝爾實驗室的James Kaiser所提出的。凱澤窗是一個單參數的窗函數群，用在數碼訊號處理中，其定義如下：

$w[n]=\left\{{\begin{matrix}{\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N-1}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},&0\leq n\leq N-1\\\\0&{\mbox{otherwise}},\\\end{matrix}}\right.$

其中：

• N 為序列的長度
• I₀ 是零階的第一類修正貝索函數
• α 是任意非負實數，用來調整凱澤窗的外形。在頻域上可以在主瓣（main-lobe）寬度及旁瓣（side lobe）大小中取拾，這是窗函數設計的重要考量因素。

若N為奇數，窗函數最大值會在 $\scriptstyle w[(N-1)/2]=1,$ 。若N為偶數，窗函數最大值會在 $\scriptstyle w[N/2-1]\ =\ w[N/2]\ <\ 1.$。

傅立葉變換

若將上述離散數列視為是連續函數，並進行傅立葉變換：

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \underbrace{\frac{I_0\left(\pi \alpha \sqrt{1 - \left(\frac{2t}{(N-1)T}\right)^2}\right)} {I_0(\pi \alpha)}}_{w_0(t)} \quad \stackrel{\mathcal{F}}{\Longleftrightarrow}\quad \underbrace{\frac{(N-1)T\cdot\sinh\left(\pi \sqrt{\alpha^2-\left((N-1)T\cdot f\right)^2}\right)}{I_0(\pi \alpha)\cdot\pi \sqrt{\alpha^2-\left((N-1)T\cdot f\right)^2}}}_{W_0(f)}. }

兩個不同α參數凱澤窗的傅立葉變換

w₀(t)的最大值為w₀(0) = 1.  上述的w[n]數列為以下函收的取様：

$w_{0}\left(t-{\tfrac {(N-1)T}{2}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-(N-1)T/2}{NT}}\right),$   ，在間隔T的時間進行取樣。

而且rect()為矩形函數. W₀(f)主瓣後的第一個零點在：

$f={\frac {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}{NT}},$     

調整α可以在主瓣的寬度及旁瓣大小中進行取捨。若α增加，W₀(f)主瓣的寬度增加，而旁瓣的大小減小，如右圖所示。α = 0會對應長方形的窗函數。若α增加，時域及頻率下凱澤窗的形狀都會接近高斯曲線。凱澤窗在頻率0附近的集中程度是幾乎最佳化的（Oppenheim et al., 1999）。

參考資料

• Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W.; Buck J. R. Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. 1999. ISBN 0-13-754920-2. 
• Kaiser, J. F. (1966). Digital Filters. In Kuo, F. F. and Kaiser, J. F. (Eds.), System Analysis by Digital Computer, chap. 7. New York, Wiley.
• Craig Sapp, Kaiser-Bessel Derived Window Examples and C-language Implementation, Music 422 / EE 367C: Perceptual Audio Coding (Stanford University course page, 2001).