聯合熵

獨立的(H(X),H(Y)), 聯合的(H(X,Y)), 以及一對帶有互信息 I(X; Y) 的相互關聯的子系統 X,Y 的條件熵。

聯合熵是一集變量之間不確定性的衡量手段。

定義

兩個變量$X$ 和 $Y$ 的聯合信息熵定義為：

$\mathrm {H} (X,Y)=-\sum _{x}\sum _{y}P(x,y)\log _{2}[P(x,y)]\!$

其中 $x$ 和 $y$ 是 $X$ 和 $Y$的特定值, 相應地, $P(x,y)$ 是這些值一起出現的聯合概率, 若$P(x,y)=0$ 為0，則$P(x,y)\log _{2}[P(x,y)]$ 定義為0。

對於兩個以上的變量 $X_{1},...,X_{n}$ ，該式的一般形式為：

$\mathrm {H} (X_{1},...,X_{n})=-\sum _{x_{1}}...\sum _{x_{n}}P(x_{1},...,x_{n})\log _{2}[P(x_{1},...,x_{n})]\!$

其中 $x_{1},...,x_{n}$ 是 $X_{1},...,X_{n}$ 的特定值，相應地，$P(x_{1},...,x_{n})$ 是這些變量同時出現的概率，若$P(x_{1},...,x_{n})=0$為0，則 $P(x_{1},...,x_{n})\log _{2}[P(x_{1},...,x_{n})]$ 被定義為0.

性質

大於每個獨立的熵

一集變量的聯合熵大於或等於這集變量中任一個的獨立熵。

$\mathrm {H} (X,Y)\geq \max[\mathrm {H} (X),\mathrm {H} (Y)]$

$\mathrm {H} (X_{1},...,X_{n})\geq \max[H(X_{1}),...,H(X_{n})]$

少於或等於獨立熵的和

一集變量的聯合熵少於或等於這集變量的獨立熵之和。這是次可加性的一個例子。該不等式有且只有在$X$和$Y$均為統計獨立的時候相等。

$\mathrm {H} (X,Y)\leq \mathrm {H} (X)+\mathrm {H} (Y)$

$\mathrm {H} (X_{1},...,X_{n})\leq \mathrm {H} (X_{1})+...+\mathrm {H} (X_{n})$

與其他熵測量手段的關係

在條件熵的定義中，使用了聯合熵

$\mathrm {H} (X|Y)=\mathrm {H} (X,Y)-\mathrm {H} (Y)\,$

互信息的定義中也出現了聯合熵的身影：

$I(X;Y)=\mathrm {H} (X)+\mathrm {H} (Y)-\mathrm {H} (X,Y)\,$

在量子信息理論中， 聯合熵被擴展到聯合量子熵。