普朗歇尔定理(又称帕塞瓦尔-普朗歇尔恒等式[1] )是调和分析的重要定理,由米歇尔·普朗歇尔于1910年证明。它指出函数平方的积分等于其频谱的平方的积分。也就是说,如果
是实数线上的函数,并且
是它的频谱,那么
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b97f2feb495359422d1efd421bee8699b57c08)
或者写成
![{\displaystyle L^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba162c66ca85776c83557af5088cc6f8584d1912)
范数:
![{\displaystyle ||f(x)||_{L^{2}}=||{\hat {f}}(\xi )||_{L^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a0f80eeaf987b2dd6350c542fe67a99354a25d2)
数学上更严格的描述是,令函数
同时属于两个L p空间
和
,那么它的傅里叶变换
属于
, 且为
中的等距变换。
这代表限制在
上的傅里叶变换有一个唯一的等距扩张
,有时候这个扩张也被称为普朗歇尔变换。此变换同时也是幺正的,透过此变换,我们便可以好好的在平方可积函数上讨论傅里叶变换。
普朗歇尔定理可以被推广到n维欧氏空间以及局部紧阿贝尔群上,若是满足一些其他的假设,普朗歇尔定理有另一个版本在非交换局部紧致群上成立,更多细节可以参考非交换调和分析。
由于在
上内积与范数是相容的,我们也可以把普朗歇尔定理应用到
的内积上。也就是说,如果
、
是两个在
内的函数,
表示普朗歇尔变换,则
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f5d1941fc7916046c91cb2cb4e463825ec2fe7)
而如果
和
属于
,有
![{\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da05ab9fb9d43b01cb3877d29489d5c220be6ddd)
以及
![{\displaystyle ({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f4ce757cfdeda53e0c76b47360381c75d52f9a)
所以
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c59eee3be76fdae2a488ec67c2342bdf466e2d)
- ^ Cohen-Tannoudji, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert. Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics
. Wiley. 1997: 11. ISBN 0-471-18433-0.
- Plancherel, Michel, Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1910, 30 (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877 .
- Dixmier, J., Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier Villars, 1969 .
- Yosida, K., Functional Analysis, Springer Verlag, 1968 .
外部链接[编辑]