向量積

維基百科,自由的百科全書
(已重新導向自 外積)
前往: 導覽搜尋
線性代數
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩陣  · 行列式  · 線性空間

叉乘是一種在向量空間向量二元運算。與點乘不同,它的運算結果是一個偽向量而不是一個純量。叉乘的運算結果叫叉積(即交叉乘積)、外積向量積。叉積與原來的兩個向量都垂直

定義[編輯]

在右手坐標系中的向量積

兩個向量\vec{a}\vec{b}的叉積寫作\vec{a}×\vec{b}(有時也被寫成\vec{a}\vec{b},避免和字母x混淆)。叉積可以定義為:

\vec{a} \times \vec{b} = \left |a  \right | \left |b  \right | \sin \theta \ \vec{n}

在這裡θ表示\vec{a}\vec{b}之間的角度(0°≤θ≤180°),它位於這兩個矢量所定義的平面上。而\vec{n}是一個與\vec{a}\vec{b}所構成的平面垂直單位矢量

這個定義有個問題,就是同時有兩個單位向量都垂直於\vec{a}\vec{b}:若\vec{n}滿足垂直的條件,那麼-\vec{n}也滿足。

「正確」的向量由向量空間的方向確定,即按照給定直角坐標系(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})的左右手定則。若 (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})滿足右手定則,則 (\vec{a}, \vec{b}, \vec{a}×\vec{b})也滿足右手定則;或者兩者同時滿足左手定則

一個簡單的確定滿足「右手定則」的結果向量的方向的方法是這樣的:若坐標系是滿足右手定則的,\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}當右手的四指從\vec{a}以不超過180度的轉角轉向\vec{b}時,豎起的大拇指指向是\vec{c}的方向。由於向量的叉積由坐標系確定,所以其結果被稱為偽向量

性質[編輯]

幾何意義[編輯]

叉積的(長度) \left |\vec{a} \times \vec{b}  \right | 可以解釋成以\vec{a}\vec{b}為邊的平行四邊形面積。進一步就是說,混合積可以得到以\vec{a}\vec{b}\vec{c}為邊的平行六面體體積

代數性質[編輯]

\vec{a}\times\vec{b}= - \vec{b}\times\vec{a}
\vec{a} × (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} × \vec{b} + \vec{a} × \vec{c}
  • 與純量乘法兼容:
(r\vec{a}) × \vec{b} = \vec{a} × (r\vec{b}) = r(\vec{a} × \vec{b})
\vec{a} × (\vec{b} × \vec{c}) + \vec{b} × (\vec{c} × \vec{a}) + \vec{c} × (\vec{a} × \vec{b}) = 0

分配律,線性性和雅可比恆等式別表明:具有向量加法和叉積的R3構成了一個李代數

拉格朗日公式[編輯]

  • 這是一個著名的公式,而且非常有用:
\vec{a} × (\vec{b} × \vec{c}) = \vec{b}\vec{a}·\vec{c})- \vec{c}\vec{a}·\vec{b}),

可以簡單地記成「BAC - CAB」。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是,這個公式對微分算子不成立。

這裡給出一個和梯度相關的一個情形:

 \begin{matrix}
 \nabla \times (\nabla \times \vec{f})
&=& \nabla      (\nabla \cdot  \vec{f} )
 - (\nabla \cdot \nabla) \vec{f}  \\
&=& \mbox{grad }(\mbox{div }   \vec{f} )
 - \mbox{laplacian }     \vec{f}.
\end{matrix}

這是一個霍奇拉普拉斯算子霍奇分解\Delta = d \partial + \partial d的特殊情形。

  • 另一個有用的拉格朗日恆等式是:
 |a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2

這是一個在四元數代數中範數乘法|vw| = |v| |w|的特殊情形。

矩陣形式[編輯]

給定直角坐標系的單位向量\vec{i}\vec{j}\vec{k}滿足下列等式:

\vec{i}\times\vec{j} =\vec{k}\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}

通過這些規則,兩個向量的叉積的坐標可以方便地計算出來,不需要考慮任何角度:設

\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}
\vec{b} = b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}

\begin{align}
\vec{a} \times \vec{b}  & = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i}+(a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2 - a_2b_1)\vec{k}\\ 
 &= \det \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
\end{align}

det為行列式

叉積也可以用四元數來表示。注意到上述\vec{i}\vec{j}\vec{k}之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言,若將向量[a1, a2, a3]表示成四元數a1i + a2j + a3k,兩個向量的叉積可以這樣計算:計算兩個四元數的乘積得到一個四元數,並將這個四元數的實部去掉,即為結果。更多關於四元數乘法,向量運算及其幾何意義請參見四元數與空間旋轉

高維情形[編輯]

七維向量的叉積可以通過八元數得到,與上述的四元數方法相同。

七維叉積具有與三維叉積相似的性質:

\vec{x} × (a\vec{y} + b\vec{z}) = a\vec{x} × \vec{y} + b\vec{x} × \vec{z}
(a\vec{y} + b\vec{z}) × \vec{x} = a\vec{y} × \vec{x} + b\vec{z} × \vec{x}.
  • 反交換律:
\vec{x} × \vec{y} + \vec{y} × \vec{x} = 0
  • 同時與\vec{x}\vec{y}垂直:
\vec{x}· (\vec{x} × \vec{y}) = \vec{y}· (\vec{x} × \vec{y}) = 0
  • 拉格朗日恆等式
|\vec{x} × \vec{y}|2 = |\vec{x}|2 |\vec{y}|2 - (\vec{x}·\vec{y})2.
  • 不同於三維情形,它並不滿足雅可比恆等式:
\vec{x} × (\vec{y} × \vec{z}) + \vec{y} × (\vec{z} × \vec{x}) + \vec{z} × (\vec{x} × \vec{y}) ≠ 0

應用[編輯]

另外,在物理學力學電磁學光學計算機圖形學等理工學科中,叉積應用十分廣泛。例如力矩角動量洛倫茲力等矢量都可以由向量的叉積求解。在進行這些物理量的計算時,往往可以藉助右手定則輔助判斷方向。

參見[編輯]