伯特蘭-切比雪夫定理

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提示:本条目的主题不是伯特蘭定理

伯特蘭-切比雪夫定理說明:若整數,則至少存在一個質數,符合。另一個稍弱說法是:對於所有大於1的整數,存在一個質數,符合

1845年約瑟·伯特蘭提出這個猜想。伯特蘭檢查了2至3×106之間的所有數。1850年切比雪夫證明了這個猜想。拉馬努金給出較簡單的證明,而保羅·艾狄胥則借二項式係數給出了另一個簡單的證明。

相關定理[编辑]

西爾維斯特定理[编辑]

詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特證明:個大於的連續整數之積,是一個大於的質數的倍數。

艾狄胥定理[编辑]

艾狄胥證明:對於任意正整數,存在正整數使得對於所有之間有個質數。

他又證明時,而且有,其中两個質數分别是4的倍數加1,4的倍數減1。

根據質數定理,之間的質數數目是

證明[编辑]

證明的方法是运用反證法,反設定理不成立,然后用两种方法估计的上下界,得出矛盾的不等式

註:下面的證明中,都假設屬於質數集。

不等式1[编辑]

這條不等式是關於的下界的。

  • 對於正整數

證明 :

對於
因此

引理1[编辑]

证明: 注意到所有大于 k+1 而小于 2k+1 的质数都在(2k+1)! 中而不在(k+1)! 或 k! 中,于是的因子。

同时又有
于是就有

定理1[编辑]

這個定理和的上界有關。

  • 對於所有正整數

數學歸納法

,2 < 16,成立。

假設對於所有少於的整數,敘述都成立。

顯然,若n>2且n是偶數,。对于奇数的n,设n=2k+1

引理1和歸納假設可得:

系理1[编辑]

首先的定理:

  • 是質數,是整數。設是最大的整數使得 ,則

下面這些系理和的上界有關。


為質數,設是最大的整數使得 整除 ,則:

,所以

于是得到三个上界:

  1. (因为 2n! 中只有两个 p,在 n! 中恰有一个 p

核心部分[编辑]

假設存在大於1的正整數,使得沒有質數符合。根據系理1.2和1.3:

再根據系理1.1和定理1: 上式最右方

結合之前關於的下界的不等式1

兩邊取2的對數,并设

顯然,即時,此式不成立,得出矛盾。 因此時,伯特蘭—切比雪夫定理成立。

再在時驗證這個假設即可。

參考[编辑]

外部連結[编辑]