可加範疇

在範疇論中，一個可加範疇是一個存在有限雙積的預加法範疇。舊文獻所謂的「可加範疇」有時指預可加範疇，在當代理論中則傾向於區別兩者。

一如預可加範疇，對一交換環 $k$ 也能定義 $k$ -可加範疇，可加範疇是 $k=\mathbb {Z}$ 的情形。

例子[编辑]

最直接的例子是交換群範疇Ab，此時的有限雙積即群的有限直積。其它常見例子包括：

一個環上的左模範疇，包括域或除環上的向量空間範疇。
環上的矩陣代數。

基本性質[编辑]

加法範疇是預可加範疇的特例，因此具有預可加範疇的性質，在此僅考慮可加範疇對雙積的特性：

首先注意到空雙積存在，稱為零對象，記作 $0$ ；它同時是範疇中的始對象與終對象。

給定加法範疇中的對象 $A,B$ ，考慮與自身的雙積 $A^{n}$ 與 $B^{m}$ ；透過雙積的射影與內射態射，能夠以矩陣表示從 $A^{n}$ 至 $B^{m}$ 的態射；若取 $A=B$ 、 $n=m$ ，則態射的合成對應於方陣乘法。

可加函子[编辑]

一個預加法範疇間的函子 $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ 若在同態集上給出群同態，則稱作可加函子。如果 ${\mathcal {C}},{\mathcal {D}}$ 還是可加範疇，而且 $F$ 保存雙積的交換圖，則稱之為（可加範疇間的）可加函子。換言之：

若 $B$ 是 $A_{1},\ldots ,A_{n}$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中的雙積，設 $p_{j}$ 為相應的投影而 $i_{j}$ 為相應的內射，則 $F(B)$ 是 $F(A_{1}),\ldots ,F(A_{n})$ 的雙積，使得 $F(p_{j})$ 為相應的投影而 $F(i_{j})$ 為相應的內射。