卡塔蘭猜想

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卡塔蘭猜想也稱為米哈伊列斯庫定理,是比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭英语Eugène Charles Catalan在1844年提出的數論猜想,已在2002年4月由帕德博恩大學羅馬尼亞數學家普雷達·米哈伊列斯庫英语Preda Mihăilescu證明了這猜想,因此也稱為米哈伊列斯庫定理。

它是說除了8=2^39=3^2,沒有兩個連續整數都是正整數(即次方數);以數學方式表述為:不定方程x^a-y^b=1的大於1的正整數x,y,a,b只有唯一解x=3,y=2,a=2,b=3

也可以叫“8--9”猜想。

米哈伊列斯庫定理的證明由尤里·比盧英语Yuri Bilu檢查,大幅使用了分圓域伽羅華模英语Galois module

與卡塔蘭猜想相似的有费馬大定理

歷史[编辑]

在卡塔蘭之前已有人考慮過類似的問題。

於是卡塔蘭猜想只餘下a,b為奇素数的情況。

  • 1976年羅貝特·泰德曼(Robert Tijdeman)證明卡塔蘭猜想的方程只有有限個解。雷·斯坦納(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奧特(Maurice Mignotte)也對這猜想作出貢獻。
  • 皮萊猜想(Pillai's conjecture):把卡塔蘭猜想一般化,推測正整數的冪之間的差趨向無限大;換句話說,對任何正整數,僅有限多對正整數的冪的差是這個數。這猜想現在仍未解決。

參閱[编辑]