卡塔蘭猜想

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卡塔蘭猜想比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭Eugène Charles Catalan)在1844年提出的一個數論的猜想。它是說除了8=2^39=3^2,沒有兩個連續整數都是正整數(即次方數);以數學方式表述為:不定方程x^a-y^b=1的大於1的正整數x,y,a,b只有唯一解x=3,y=2,a=2,b=3

也可以叫“8--9”猜想。

2002年4月,帕德博恩大學羅馬尼亞數學家普雷達·米哈伊列斯庫Preda Mihăilescu)證明了這猜想,所以它現在是定理了。這個證明由尤里·比盧Yuri Bilu)檢查,大幅使用了分圓域伽羅華模

與卡塔蘭猜想相似的有费馬大定理

歷史[编辑]

在卡塔蘭之前已有人考慮過類似的問題。

  • 1320年左右,萊維·本·熱爾松(Levi ben Gerson,1288年—1344年)證明2和3的冪之間只有8和9相差是1。
  • 莱昂哈德·歐拉證明,x2 - y3 = 1只有一解:x = 3,y = 2。
  • 勒貝格證明了方程xa - y2 = 1,a > 1 沒有正整數解。
  • 1965年柯召證明方程x2 - yb = 1,b > 1 只有一個解。

於是卡塔蘭猜想只餘下a,b為奇素数的情況。

  • 1976年羅貝特·泰德曼(Robert Tijdeman)證明卡塔蘭猜想的方程只有有限個解。雷·斯坦納(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奧特(Maurice Mignotte)也對這猜想作出貢獻。
  • 皮萊猜想:把卡塔蘭猜想一般化,推測正整數的冪之間的差趨向無限大;換句話說,對任何正整數,僅有限多對正整數的冪的差是這個數。這猜想現在仍未解決。

參閱[编辑]