abc猜想

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abc猜想是一個未解決的數學猜想,最先由喬瑟夫·奧斯達利(Joseph Oesterlé)及大衛·馬瑟(David Masser)在1985年提出,此猜想目前仍未被證明。对此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。

內容[编辑]

它說明對於任何\varepsilon >0,存在常數C_{\varepsilon}>0,使得對於任何三個滿足a+b=ca, b互質的正整數a, b, c,有:

 c < C_{\varepsilon} \operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon},

在此\operatorname{rad}(n)表示n質因數,如\operatorname{rad}(36000)=\operatorname{rad}(2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^3) = 30。 简单来说,就是有3个数:a、b和c =a+b,如果这3个数互质,没有大于1的公共因子,那么将这3个数不重复的质因子相乘得到的d, “几乎一定”会比c大。举个例子:a=2,b=7,c=a+b=9=3×3。这3个数是互质的,那么不重复的因子相乘就有d=2×7×3=42>c=9。大家还可以实验几组数,比如:3+7=10,4+11=15,也都满足这个猜想。

但是,上面所述之内容,并非猜想的全貌,而且依照上面的算法去找a+b=c,还居然存在反例!著名的ABC@home 网站 就在用分布式计算寻找ABC猜想的反例,其中一个反例是3+125=128:其中125=5^{3}128=2^{7},那么不重复的质因子相乘就是3×5×2=30

ABC猜想不但涉及加法(两个数之和),又包含乘法(质因子相乘),接着还模糊地带有点乘方(1+ε次方),。实际上,除了尚未解决的涉及多个数学分支的猜想界皇冠黎曼猜想以外,与ABC猜想的影响力相比,其他数论中的猜想,诸如哥德巴赫猜想孪生质数猜想,以及费马最后定理,都比不上。

首先,ABC猜想,对于数论研究者来说,是反直觉的。历史上反直觉的却又被验证为正确的理论,数不胜数。一旦反直觉的理论被证实是正确的,基本上都改变了科学发展的进程。再者,ABC猜想和其他很多数论中的未解问题有着重大联系。

比如刚才提到的丢番图方程问题、费马最后定理的推广猜想、Mordell猜想、Erdős–Woods猜想,等等等等。而且,ABC猜想还能间接推导出很多已被证明的重要结果,比如费马最后定理。从这个角度来讲,ABC猜想是质数结构的未知宇宙的强力探测器,仅次于黎曼猜想。

abc猜想与诸多丢番图方程(不定方程问题)紧密相关,如费马大定理{{a}^{n}}+{{b}^{n}}={{c}^{n}},a,b,c,n\in \mathbb{N}, 当n>2时,方程无整数解。

歷史[编辑]

1996年,艾倫·貝克(Alan Baker)提出一個較為精確的猜想,將\operatorname{rad}(abc)\varepsilon^{-\omega}\operatorname{rad}(abc)取代,在此\omegaa, b, c的不同質因數的數目。

2012年8月,日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的abc猜想的證明,以泰赫米勒理論為基礎[1][2][3]。該證明目前正由其他數學專家檢查中。[4]当Vesselin Dimitrov和Akshay Venkatesh在2012年10月发现一处错误时,望月新一在他的网站 确认了此错误,并声称这个错误能够在近期修补,不会影响最后的结果[5]。2012年12月,望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月,他又屡次对文章进行了修订,新修正了18处错误,當中很多也是打字错误[6]

參考[编辑]

  1. ^ Mochizuki, Shinichi. Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations. Working Paper. 2012.August. 
  2. ^ Ball, Phillip, Proof claimed for deep connection between primes, Nature. 10 September 2012 .
  3. ^ Cipra, Barry, ABC Proof Could Be Mathematical Jackpot, Science. September 12, 2012 .
  4. ^ Proof claimed for deep connection between primes
  5. ^ Kevin Hartnett. An ABC proof too tough even for mathematicians. Boston Globe. 3 November 2012. 
  6. ^ 宇宙几何学家望月新一与ABC猜想 (故事续集)

文獻[编辑]


連結[编辑]