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可數鏈條件

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序理論中,若一個偏序的所有強反鏈英语strong antichain都是可數的,則說滿足可數鏈條件(Countable chain condition),而可數鏈條件又記做ccc

綜觀

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實際上可數鏈條件有兩種,一種是上升可數鏈條件(upwards countable chain condition),一種是下降可數鏈條件(downwards countable chain condition),這兩個條件並不等價,而一般而言可數鏈條件指的是下降可數鏈條件,換句話說也就是「沒有兩個元素有相同的最小下界」這條件。

這條件被稱為「可數鏈條件」而非更合乎邏輯的「可數反鏈條件」,是因為和拓樸空間與完備布爾代數的鏈相關歷史理由之故,而在拓樸空間與完備布爾代數中,這些鏈條件有時剛好和反鏈條件條件相同,比方說若是一個基數,那麼在完備布爾代數中,任何的反鏈大小小於的充要條件是若不存在元素的下降序列,而在這種狀況下鏈條件與反鏈條件等價。

滿足可數鏈條件的偏序和空間被用於馬丁公理的陳述中。

力迫理論中會用到滿足可數鏈條件的偏序,而這是因為對任何集合使用如此的序對,可以保持其基數及共尾性之故;此外,可數鏈條件在有限支撐迭代(詳情可見迭代力迫英语iterated forcing)中可得到保持。關於更多關於力迫中的可數鏈條件,可見力迫一文相關章節的說明。

更一般地,若是一個基數,那麼在一個偏序集每個反鏈的大小都小於的狀況下,會說這個偏序集滿足-鏈條件;而在這種狀況下,可數鏈條件即是-鏈條件,也就是可數鏈條件即是-鏈條件。

拓樸學中的例子與性質

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若說一個拓樸空間滿足可數鏈條件,或者所謂的蘇斯林英语Mikhail Yakovlevich Suslin條件,就表示說的非空開子集的偏序集滿足可數鏈條件,也就是的非空開子集的所有的兩兩不交的搜集都是可數的,而這名稱的由來是蘇斯林問題

  • 所有的可分拓樸空間都滿足可數鏈條件,不僅如此,多至個可分空間的積空間都是可分的且滿足可數鏈條件。
  • 一個度量空間滿足可數鏈條件,當且僅當這空間是可分的
  • 一般而言,滿足可數鏈條件的拓樸空間未必是可分的,像例如說在積拓樸下,這空間滿足可數鏈條件,但「不是」可分的。
  • 滿足可數鏈條件的仿緊空間都是林德勒夫空間

參考資料

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  • Jech, Thomas, Set Theory: Millennium Edition, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2003, ISBN 978-3-540-44085-7 
  • Products of Separable Spaces, K. A. Ross, and A. H. Stone. The American Mathematical Monthly 71(4):pp. 398–403 (1964)