垂心组

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一个垂心组,其中一点是另三点构成的三角形的垂心

几何学中,一个垂心组是由四个组成的平面图形,使得其中一点都是另外三点组成的三角形的垂心

结构[编辑]

如果四个点构成一个垂心组,那么实际上可以证明每个点都是另外三点组成的三角形的垂心。因此,在一个垂心组中,四个点的地位是相同的。在一般情况下,四个点的位置互不相同,除非其中有三个点构成直角三角形。这时第四个点和直角顶点重合。在所有其他的情况里,会有一个点落在另三点所构成的三角形的内部。

性质[编辑]

如图,垂心组的四个三角形的外接圆们的圆心为:恰好是原来的垂心组翻转过来的样子。

一个垂心组中的点可以构成四个三角形。这四个三角形中有一个是锐角三角形,另外三个是钝角三角形。这四个三角形的九点圆都是同一个称为垂心组的(公共的)九点圆;它们的外接圆有相同的半径,这个半径称为垂心组的外接圆半径。这四个外接圆的圆心也构成一个垂心组,并且和原来的垂心组全等(形状一样),可以看成是原来的垂心组关于一点旋转180°之后的结果。这个点就是原垂心组的九点圆的圆心。

垂心组的四个三角形拥有共同的九点圆: 关于 对称。

将垂心组的四点两两连起来,并延长成直线,则可以得到六条直线。这六条直线有七个交点,其中四个是原来垂心组的四点,另外三点都是两两垂直的直线的交点,它们是垂心组中唯一一个锐角三角形的三条高线的垂足。这三个点构成的三角形叫做垂心的垂足三角形。垂心组中不构成锐角三角形的那一点不仅是锐角三角形的垂心,也是垂心的垂足三角形的内心。而垂心组的另外三个点(构成锐角三角形的三个点)则是垂心的垂足三角形的三个旁心。反过来则可以推出:任何一个三角形的内心和三个旁心构成一个垂心组。

参考来源[编辑]

  • R.A.约翰逊,单墫 译. 近代欧氏几何学. 上海教育出版社. : 142–146. ISBN 7-5320-6392-5. 
  • Altshiller-Court. College Geometry: A Second Course in Plane Geometry for Colleges and Normal Schools. New York: Barnes and Noble, 2nd ed. 1952: 109–114.