婆罗摩笈多-斐波那契恒等式

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婆罗摩笈多-斐波那契恒等式是以下的恒等式:

这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和,则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和。例如,

(1)和(2)都可以用展开多项式的方法来证实。(2)可以通过把(1)中的b换成−b来得出。

这个等式在整数环有理数环中都成立。更一般地,在任何的交换环中都成立。

它在数论中有很多应用,例如费马平方和定理说明任何被4除余1的素数都能表示为两个平方数的和,则根据婆罗摩笈多-斐波那契恒等式,任何两个被4除余1的素数的积也都能表示为两个平方数的和。

證明[编辑]

而若將互換位置,即可得

相关等式[编辑]

四平方和恒等式是一个类似的等式,含有四个平方和,与四元数有关。还有一个八平方和恒等式英语Degen's eight-square identity

与复数的关系[编辑]

如果abcd实数,那么这个等式与複數的绝对值的乘法性质是等价的,也就是说:

由于

两边平方,得

根据绝对值的定义,

用范数来解释[编辑]

abcd有理数的情况中,这个等式可以解释为Q(i)的范数是积性的。也就是说:

而且

所以,这个等式就是说

参见[编辑]

外部链接[编辑]