婆羅摩笈多-斐波那契恆等式 是以下的恆等式:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\ \qquad \qquad (1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.\qquad \qquad (2)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1032ba21996cc243fef4c1ab18c6885ead00a475)
這個恆等式說明了如果有兩個數都能表示為兩個平方數的和,則這兩個數的積也可以表示為兩個平方數的和。例如,
![{\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=30^{2}+1^{2}=26^{2}+15^{2}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80705be56b2875315a0f18d3df4058ba7221245c)
(1)和(2)都可以用展開多項式的方法來證實。(2)可以通過把(1)中的
換成
來得出。
這個等式在整數環和有理數環中都成立。更一般地,在任何的交換環中都成立。
它在數論中有很多應用,例如費馬平方和定理說明任何被4除餘1的質數都能表示為兩個平方數的和,則根據婆羅摩笈多-斐波那契恆等式,任何兩個被4除餘1的質數的積也都能表示為兩個平方數的和。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\\&=\left(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}{\color {red}-2abcd}\right)+\left(a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}{\color {red}+2abcd}\right)\\&=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e80cb2c262218356ee1178e6763211ceeac08fa)
而若將
與
互換位置,即可得
![{\displaystyle \left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d3ee1c1bbc4099761153ff18171a24c229461b)
四平方和恆等式是一個類似的等式,含有四個平方和,與四元數有關。還有一個八平方和恆等式。
如果
、
、
和
是實數,那麼這個等式與複數的絕對值的乘法性質是等價的,也就是說:
![{\displaystyle |a+bi||c+di|=|(a+bi)(c+di)|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba1fcbbf70d371f3309d53e3951bbcae662d7e8)
由於
![{\displaystyle |a+bi||c+di|=|(ac-bd)+i(ad+bc)|,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590d6828dce3f743bb2cb00256869a21cdc6d78c)
兩邊平方,得
![{\displaystyle |a+bi|^{2}|c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43948bcdd86f4b60aa946f2a07939530d4d1f71)
根據絕對值的定義,
![{\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1553311bb78df09d49cc08c729814ce37123340)
在
、
、
和
是有理數的情況中,這個等式可以解釋為域
的範數是積性的。也就是說:
且![{\displaystyle N(c+di)=c^{2}+d^{2},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee1e4c1b873f426b26a39ea0904638fc904c144)
而且
![{\displaystyle N[(a+bi)(c+di)]=N[(ac-bd)+i(ad+bc)]=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f04ac7548e4fa71a46e64aa2c54bf257dfef12)
所以,這個等式就是說
![{\displaystyle N[(a+bi)(c+di)]=N(a+bi)\cdot N(c+di).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89b3c001197412a18618924646f00b64c1835b5)