尺度分析(Scale analysis),或稱量级分析(order-of-magnitude analysis),是一个應用于数学科学的工具,用于简化含有多项式的公式。首先确定方程中的某一项的量级。然后一些小到可以忽略不计的项可能会被忽略。
考虑大气中纳维–斯托克斯的方程式中的垂直坐标方向上的 动量方程式
![{\displaystyle {{\partial w} \over {\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}-{\frac {u^{2}+v^{2}}{R}}=-{{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}}-g+2{\Omega u\cos \varphi }+\nu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right),\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b881cf3b9e5b7bd01c541ec560f0517459a86)
其中R是地球半径,Ω是地球旋转频率,g 是重力加速度,φ是纬度,ρ是空气密度以及ν是空气的 运动粘性系数(我们可以忽视湍流在大气中的影响)。
在綜觀尺度中,我們可以預期U = 101 m.s-1的水平速度和W = 10-2 m.s-1的垂直速度。 水平刻度L = 106米,垂直刻度H = 104米。 典型的時標是T = L / U = 105秒。 對流層的壓差為ΔP= 104Pa,空氣密度ρ= 100 kg·m-3。 其他物理屬性約為:
- R = 6.378 × 106 m;
- Ω = 7.292 × 10−5 rad·s−1;
- ν = 1.46 × 10−5 m2·s−1;
- g = 9.81 m·s−2.
等式(1)中不同項的估計可以使用它們的尺度來進行:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{{\partial w} \over {\partial t}}&\sim {\frac {W}{T}}\\[1.2ex]u{\frac {\partial w}{\partial x}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad v{\frac {\partial w}{\partial y}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad w{\frac {\partial w}{\partial z}}&\sim W{\frac {W}{H}}\\[1.2ex]{\frac {u^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}&\qquad {\frac {v^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}\\[1.2ex]{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}&\sim {\frac {1}{\varrho }}{\frac {\Delta P}{H}}&\qquad \Omega u\cos \varphi &\sim \Omega U\\[1.2ex]\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{H^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2526ed4450139293d5383ea44f22141ca4b3e3a7)
現在我們可以將這些尺度及其值引入等式(1):
![{\displaystyle {\frac {10^{-2}}{10^{5}}}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6}}}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6}}}+10^{-2}{\frac {10^{-2}}{10^{4}}}-{\frac {10^{2}+10^{2}}{10^{6}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7deae85c37ea17c2e071ecf3d3c4f8a1a2cf39fb)
![{\displaystyle =-{{\frac {1}{1}}{\frac {10^{4}}{10^{4}}}}-10+2\times 10^{-4}\times 10+10^{-5}\left({\frac {10^{-2}}{10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{8}}}\right).\qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c363c6968404817974f7db2c935166f5e2ea48)
我們可以看到所有項次(除了右側的第一個和第二個)都可以忽略不計。因此,我們可以將垂直動量方程式簡化為流體靜力平衡方程式:
![{\displaystyle {{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}}=-g.\qquad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d21552e7a9f46c46fe21b8afd6da1622e7e32e)