山邊問題

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山邊(Yamabe)問題微分幾何的問題,得名自山邊英彥。雖然山邊英彥在1960年初宣稱得到解答,他的證明中一個關鍵錯誤在1968年被尼爾·特魯丁格發現,而山邊英彥已在1960年底逝世。後來陸續由尼爾·特魯丁格蒂埃里·奧班理查德·舍恩研究,山邊問題在1984年得到完全解決。

問題[编辑]

給出維數光滑緊緻流形黎曼度量,是否必然存在共形於的度量,使得數量曲率為常數?換言之,上是否存在光滑函數,使得 常數量曲率

現已知道確有如此度量,證明使用了微分幾何偏微分方程泛函分析的技巧。

非緊緻情形[编辑]

推廣到非緊緻流形上的山邊問題是:在非緊緻的光滑完備黎曼流形,是否必然存在共形度量,使數量曲率為常數,且流形仍為完備?這問題的答案為否,Jin Zhiren發現其反例。

參考[编辑]