山邊問題
外觀
山邊(Yamabe)問題是微分幾何的問題,得名自山邊英彥。雖然山邊英彥在1960年初宣稱得到解答,他的證明中一個關鍵錯誤在1968年被尼爾·特魯丁格發現,而山邊英彥已在1960年底逝世。後來陸續由尼爾·特魯丁格、蒂埃里·奧班、理查德·舍恩研究,山邊問題在1984年得到完全解決。
問題
[編輯]給出維數的光滑緊緻流形及黎曼度量,是否必然存在共形於的度量,使得的數量曲率為常數?換言之,上是否存在光滑函數,使得 有常數量曲率?
現已知道確有如此度量,證明使用了微分幾何、偏微分方程、泛函分析的技巧。
非緊緻情形
[編輯]推廣到非緊緻流形上的山邊問題是:在非緊緻的光滑完備黎曼流形,是否必然存在共形度量,使數量曲率為常數,且流形仍為完備?這問題的答案為否,Jin Zhiren發現其反例。
參考
[編輯]- Lee, J.; Parker, T., The Yamabe problem, Bulletin of the American Mathematical Society, 1987, 17: 37–81.
- Trudinger, Neil S., Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structures on compact manifolds, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 1968, 22: 265–274 [2013-09-01], MR 0240748, (原始內容存檔於2012-10-27)
- Yamabe, Hidehiko, On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds, Osaka Journal of Mathematics, 1960, 12: 21–37 [2013-09-01], ISSN 0030-6126, MR 0125546, (原始內容存檔於2016-02-03)
- Jin, Zhiren, A counterexample to the Yamabe problem for complete noncompact manifolds, Partial differential equations (Tianjin, 1986), Lecture Notes in Math. 1306, Berlin, New York: Springer-Verlag: 93–101, 1988, MR 1032773, doi:10.1007/BFb0082927
- 鄭日新. Rick Schoen, Yamabe 問題與正質量定理 (PDF). 數學傳播. 2000年12月, 24 (4): 63–67 [2013-09-01]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04).