庫拉托夫斯基閉包公理

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庫拉托夫斯基閉包公理可來定義一個集上的拓樸結構,它和以開集作定義拓樸結構的公理等價。

定义[编辑]

拓樸空間 (X,\operatorname{cl}) 是集合 X 及作用在 X冪集上的閉包算子

\operatorname{cl}:\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)

閉包算子需符合以下條件:

  1.  A \subseteq \operatorname{cl}(A) \!
  2.  \operatorname{cl}(\operatorname{cl}(A)) = \operatorname{cl}(A) \! (等冪性)
  3.  \operatorname{cl}(A \cup B) = \operatorname{cl}(A) \cup \operatorname{cl}(B) \!
  4.  \operatorname{cl}(\varnothing) = \varnothing \!

如果不要求第二个公理即幂等公理,则剩下的公理定义了预闭包算子

等價的證明[编辑]

從由閉包算子定義的拓撲空間開始。A 稱為在(X,\operatorname{cl})閉合的,若A=\operatorname{cl}(A)。亦即,X 的閉集是閉包算子的不動點

若稱「開集」為其補集為閉集的集合,則所有開集會形成一個拓撲,證明如下:

  1. 由公理4.可知\varnothing\!為閉集;由公理1.及閉包算子的閉合性可知X 為閉集。因此,X\varnothing\!(分別為\varnothing\!X 的補集)為開集。
  2. X 的子集{A_i},i\in\Lambda\!(其中\Lambda為任意集合)皆為開集,由公理1.及閉集的定義可知\bigcup_{i\in\Lambda} A_i為開集。
  3. X 的子集AB 為開集,由公理3.可知A \cap B為開集。

相反地,由開集定義的拓撲也可推導至由閉包算子定義的拓撲空間。令外,也可得出下列等價的定義:

兩個拓撲空間之間的函數

f:(X,\operatorname{cl}) \to (X',\operatorname{cl}')

稱為連續的,若對所有X 的子集A',

f(\operatorname{cl}(A)) \subset \operatorname{cl}'(f(A))

一個點稱之為在(X,\operatorname{cl})內是接近A 的,若p\in \operatorname{cl}(A)