恩布里-特雷費森常數

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數論中,恩布里-特雷費森常數Embree-Trefethen constant)是一個和隨機費波那西數列有關的閾值,符號為β*,其近似值為0.70258(OEIS中的数列A118288)。

針對一固定的正數β,考慮以下的遞迴關係式

x_{n+1}=x_n \pm \beta x_{n-1} \,

遞迴關係式中的正負號部份是隨機決定,相加及相減的機率各是一半。

可證明對於任何的β,以下極限

\sigma(\beta) = \lim_{n \to \infty} (|x_n|^{1/n}) \,

几乎必然存在。也就是說,數列表現類似指數的機率為1。

可得以下的式子

在0 < β < β* = 0.70258(近似值)時,σ < 1,

因此當n→∞ 時,數列以指數形式遞減的機率為1

β > β*時,σ > 1,

因此數列以指數形式成長

有關σ的數值,可得:

此常數的命名是來自應用數學家馬克·恩布里英语Mark Embree勞埃德·尼古拉斯·特雷費森英语Lloyd Nicholas Trefethen

參考資料[编辑]

  • Embree, M.; Trefethen, L. N., Growth and decay of random Fibonacci sequences, Proceedings of the Royal Society. 1999, 455 (455): 2471–2485, doi:10.1098/rspa.1999.0412  [1]

外部連結[编辑]