恩布里-特雷費森常數

在數論中，恩布里-特雷費森常數（Embree-Trefethen constant）是一個和隨機費波那西數列有關的閾值，符號為$\beta ^{*}$，其近似值為0.70258（OEIS數列A118288）。

針對一固定的正數$\beta$，考慮以下的遞迴關係式

$x_{n+1}=x_{n}\pm \beta x_{n-1}\,$

遞迴關係式中的正負號部份是隨機決定，相加及相減的機率各是一半。

可證明對於任何的$\beta$，以下極限

$\sigma (\beta )=\lim _{n\to \infty }(|x_{n}|^{1/n})\,$

几乎必然存在。也就是說，數列表現類似指數的機率為1。

可得以下的式子

在$0<\beta <\beta ^{*}=0.70258$（近似值）時，$\sigma <1$,

因此當$n\rightarrow \infty$時，數列以指數形式遞減的機率為1

在$\beta >\beta ^{*}$時，$\sigma >1$,

因此數列以指數形式成長

有關$\sigma$的數值，可得：

• $\sigma (1)=1.131\ 988\ 24\ldots$（Viswanath常數）及
• $\sigma (\beta ^{*})=1$.

此常數的命名是來自應用數學家馬克·恩布里及勞埃德·尼古拉斯·特雷費森。

參考資料

• Embree, M.; Trefethen, L. N., Growth and decay of random Fibonacci sequences, Proceedings of the Royal Society, 1999, 455 (455): 2471–2485, doi:10.1098/rspa.1999.0412  [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Random Fibonacci Sequence. MathWorld.