戴德金和

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戴德金和(Dedekind sum)是數學家戴德金在跟戴德金η函數有關的工作中提出的。

定義這個函數,首先要定義((x)):若x整數((x))=0,否則為x-[x]-0.5,其中[x]是最大而又不大於x的整數。

對於非零整數h,k,戴德金和s(h,k)定義為 s(h,k) = \sum_{\mu = 0}^{k-1} ((\frac{\mu}{k})) ((\frac{h \mu}{k}))

h,k互質且均大於0,有s(h,k) = \frac{1}{4k} \sum_{\mu=1}^{k-1} \cot\left(\frac{\pi h \mu}{k}\right ) \cot\left(\frac{\pi \mu}{k}\right)

公式[编辑]

  • 公因數時: s(ch,ck) = s(h,k)
  • Petersson-Knopp恆等式:\sum_{d|n} \sum_{m=0}^{d-1} s\left(\frac{n}{d} h + mk, kd\right) = \sigma(n) s(h,k)\sigma(n)因數函數,是n的正因數之和。其中一個較易證明的特例為當p質數(p+1) s(h,k) = s(ph,k) + \sum^{p-1}_{m = 0} s(h+mk,pk)
  • 周期性:s(nk+h,k) = s(h,k)
  • pq \equiv 1 \pmod{k}s(p,k) = s(q,k)
  • s(1,k) = \frac{(k-1)(k-2)}{12k}
  • k奇數s(2,k) = \frac{(k-1)(k-5)}{24k}
  • 對於k \equiv 1 \pmod{h}12hk s(h,k)=(k-1)(k-(h^2+1))
  • 對於k \equiv 2 \pmod{h}12hk s(h,k)=(k-2)(k-(h^2+1)/2)
  • 對於k \equiv -1 \pmod{h}12hk s(h,k)=k^2+(h^2-6h+2)k+(h^2+1)
  • 互反和:
s(h,k)+s(k,h) = - \frac{1}{4} + \frac{1}{12} \left(\frac{h}{k}+\frac{1}{hk}+\frac{k}{h}\right)

參考[编辑]