抽样分布

在统计学中，抽样分布是由随机抽样的样本统计量所形成的概率分布。总体的数值特征被称为母數，例如总体均值 $\mu$、总体标准差 $\sigma$ 和总体比例 $p$ 等。而对于样本而言，样本统计量可以看做是样本的函数，是一个随机变量。每一次抽样都会得到一个对应的样本均值 ${\bar {x}}$、样本误差 $s$ 和样本比例 ${\bar {p}}$ 等，作为对总体参数的估计值。而这些统计量所形成的概率分布即抽样分布。

样本均值

对于样本均值而言，其抽样分布具有如下性质：

${\bar {x}}$ 的期望等于该样本选取自的总体均值。

$$E({\bar {x}})=\mu$$

将样本均值 ${\bar {x}}$ 的标准差记为 $\sigma _{\bar {x}}$，样本容量记为 $n$，总体容量记为 $N$。

对于无限总体：

$$\sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$$

对于有限总体：

$$\sigma _{\bar {x}}={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}({\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})$$

这里 ${\sqrt {(N-n)/(N-1)}}$ 通常被称为有限总体修正系数。一般认为当样本容量小于总体容量的5%，即 $n/N\leq 0.05$ 时，该系数可以忽略不计。

样本比例

对于样本比例而言，其抽样分布具有如下性质：

${\bar {p}}$ 的期望等于该样本选取自的总体比例。

$$E({\bar {p}})=p$$

将样本比例 ${\bar {p}}$ 的标准差记为 $\sigma _{\bar {p}}$，样本容量记为 $n$，总体容量记为 $N$。

对于无限总体：

$$\sigma _{\bar {p}}={\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}$$

对于有限总体：

$$\sigma _{\bar {p}}={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}$$

同样，当 $n/N\leq 0.05$ 时，该系数可以忽略不计。

参考文献

参考书籍

• Modern Business Statistics with Microsoft Excel, United States: Cengage Learning, ISBN 9780357708620