比例

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y 正比於 x。

数学中,比例是兩個非零數量 之間的比較關係,記為 ,在計算時則更常寫為 。若两个變量的关系符合其中一个量是另一个量乘以一个常数),或等价地表达为两變數之比率為一個常數(稱為比值),则称两者是成比例的


如果 可通約的,亦即它們之間存在一個公測量 (common measure) 使得 就相等於兩個整數的比:,那麼 就稱為可通約比 (commensurable ratio), 稱為一個分數,其比值稱為有理數;否則,如果不存在一個公測量, 就稱為不可通約比 (incommensurable ratio),其比值稱為無理數,亦即無法表達為分數的數。


兩個比例之間也可以互相比較。如果兩個比例相等,亦即,它們的比值相同,這個相等關係稱為一個等比關係,例如, 是一個等比關係,其中 。特別是,如果第二項等於第三項,例如 ,那麼 稱為 幾何平均數(geometric mean)[1]

定义[编辑]

若存在一非零常数 k 使

则称变量 y 与变量 x 成比例(有时也称为成正比)。当x和y成正比关系,表示当x变为原來k倍时,y也会变为原來的k倍。

y是因变量
x是自变量
k则是变分常数,而k不等于0。如k=0,则不能成立正比关系。也就是说,x、y两个变量线性函数关系。

该关系通常用 ∝ (统一码: U+221D) 表示为:

并称该常数比率

比例常数或比例关系中的比例恒量

在日常生活中,正比这个词的使用并不严格局限于线性函数,一般来说,一个变量随着另一个变量的增大(缩小)而相应地增大(缩小),近似地满足线性关系的时候,我们可以说这两个变量成正比。

用法與歷史[编辑]

現代數學對於比例的用法並沒有嚴格限制,例如,在一個班級裡面,我們可以說:「男孩與女孩的比例是 2 比 1」。然而,在古希臘數學中,由於比例是用來表示倍數關係,所以必須是相同種類的數量才能構成比例,例如,歐幾里得在【幾何原本】第五冊中如此定義比例[2]

λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις.

A ratio is a sort of relation in respect of size between two magnitudes of the same kind.

比例是兩個同類數量之間的大小關係。

阿基米德使用這個定義來敘述均勻運動(uniform motion)的等比關係[3]

在一個均勻運動中,兩段距離的比例相等於它們所需時間的比例。

阿基米德所要描述的,就是勻速運動(或稱「等速運動」),但是古希臘數學並不接受距離時間的比例[4](亦即速率),因為它們是不一樣的數量,所以他沒有辦法直接說:「均勻運動就是每一點上的速率皆相等」。當採用古希臘的比例論來敘述時,必須取兩段距離 以及所需時間 ,均勻運動(勻速運動)就是

例子[编辑]

  • 假设某人以匀运动,则其运动的距离是和运动的时间成正比的,该速度值即是所述的比例常数。
  • 在按比例尺绘制的地图上,地图上任意两点间的距离是和该两点所代表的实际地点之间的距离成比例的,其比例常数即是绘制该地图所使用的比例尺系数。

性质[编辑]

因为

等价于

因此可推出,若 yx 具有比例常数为 k 的比例关系,则 x 也与 y 具有比例常数为 1/k 的比例关系。

yx 成比例,则 y 作为 x 的一个函数的函数图像会是一条穿过原点直线,该直线的斜率等于其比例常数。

比例关系中,位于两端的两数之积等于位于中间的两数之积[编辑]

比例的其他性质[编辑]

若有且有则有

反比关系[编辑]

在上面定义中,我们说有时称两个成比例的变量成正比例,这是为了和反比例关系相对应。

如果两变量中,一个变量和另外一个变量的倒数成正比,或等价地,若这两变量的乘积是一个常数,则称这两个变量是成反比例(或相反地变化)的。从而可继续推出,若存在一非零常数 k 使

则变量 y 和变量 x 成反比。

反比例关系的概念基本上说明的是这样一种关系,即当一个变量的值变大时,另一变量的值相应变小,而两者之积总是保持为一常数(即比例常数)。

举例来说,运动中的车辆走完一段路程所花费的时间是和这辆车运动的速度成反比的;在地上挖个坑所花的时间也(大致地)和雇来挖坑的人数成反比的。

在笛卡尔坐标平面上,两个具有反比例关系的变量的图形是一对双曲线。该图线上的每一点的 X 和 Y 坐标值之积总是等于比例常数 (k)。由于 k 非零,所以图线不会与坐标轴相交

指数比例和对数比例[编辑]

若变量 y 与变量 x指数函数成正比,即:若存在非零常数 k 使

则称 yx指数比例

类似地,若变量 y 与变量 x对数函数成正比,即:若存在非零常数 k 使

则称 yx对数比例

确定比例关系的实验方法[编辑]

用实验方法确定两个物理量是否具有正比关系,可采用这样的办法,即进行多次测量并在笛卡尔坐标系中将这些测量结果用多个点来表示,而绘制出这些点的分布图形;如果所有点完全(或接近)地落在一条穿过原点 (0, 0) 的直线上,则这两个变量(很有可能)具有比例常数等于该直线斜率的正比关系。

參考文獻[编辑]

参见[编辑]